Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций

Июль 29, 2022

Главная
Математика
Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций

Содержание

2. Вопрос 1. Логарифмическое дифференцирование Пусть у = lnu, где u = φ(х) - дифференцируемая функция. Применяя
3. Таким образом, имеем или (1) Производная называется логарифмической производной функции u = φ(х).
4. О.1.1. Операция, состоящая в последовательном применении к функции сначала логарифмирования (по основанию е), а затем дифференцирования,
5. Найдем производную данной функции логарифмическим дифференцированием: lny = vlnu. Отсюда по формуле (1) получим откуда
6. Подставив у = uv, получим или Замечание Производная степенно-показательной функции состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое
7. Логарифмическое дифференцирование может быть применено для отыскания производных не только степенно-показательных функций, но и таких, непосредственное
8. Пример 1. Найти у′, если Решение Прологарифмируем данную функцию: Отсюда Если воспользоваться выражением (1), то получится
9. Пример 2. Найти у′, если Решение Прологарифмируем данную функцию: Умножая на у и подставляя его значение,
10. Вопрос 2. Дифференцирование функций, заданных неявно 2.1. Неявное задание функции О.2.1.Если функция задана уравнением у =
11. Всякую явно заданную функцию у = f(х) можно записать как неявно заданную уравнением у ‒ f(х)
12. Пример 3. х2 + у2 = 1 - неявная функция ⇒ Не всегда легко, а иногда
13. 2.2. Дифференцирование неявных функций Пусть неявная функция у задана уравнением (2) F(x,y) = 0, не разрешенным
14. Пример 5. Найти производную функции у, заданной уравнением х3 + у3 ‒ 3ху = 0. Решение
15. Вопрос 3. Дифференцирование функций, заданных параметрически 3.1. Параметрическое задание функции О.3.1.Параметрическим заданием функции у = f(х)
16. Пример 6. 1) 2) Здесь 0 ≤ t ≤ 2π.
17. 3.2. Дифференцирование функций, заданных параметрически Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в
18. Пример 7. Пусть . Найти у′х. Решение
19. Вопрос 4. Производные высших порядков Производная у′ = f′(х) функции у = f(х) есть так же
20. Таким образом О.4.2. Производная от второй производной функции у = f(х) называется производной третьего порядка или
21. Производные, начиная со второй, называются производными высших порядков. О.4.3. Производная от (n‒1)-й производной функции у =
22. Начиная с производной 4-го порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках. Пример 8. уV
23. Пример 9. Найти производную n-го порядка функции у = ах. Решение
24. Механический (физический) смысл второй производной Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону S = S(t). Известно,
25. 4.2. Производные высших порядков неявных функций Пусть неявная функция у задана уравнением (2), т.е. F(x,y) =
26. Пример 10. Найти у‴, если х2 + у2 = 1. Решение F(x,y) = 0 ⇒ х2
27. 4.3. Производные высших порядков от функций, заданных параметрически Пусть функция у = f(х) задана параметрически в
28. Найдем вторую производную от функции, заданной параметрически. Из определения второй производной и равенства (4) следует, что
30. Скачать презентацию

Слайд 2

Вопрос 1. Логарифмическое дифференцирование
Пусть у = lnu, где u = φ(х)

- дифференцируемая функция.
Применяя правило дифференцирования сложной функции, получим

Слайд 3

Таким образом, имеем
или (1)
Производная называется логарифмической производной функции
u =

φ(х).

Слайд 4

О.1.1. Операция, состоящая в последовательном применении к функции сначала логарифмирования (по

основанию е), а затем дифференцирования, называется логарифмическим дифференцированием, а ее результат - логарифмической производной данной функции.
О.1.2. Степенно-показательной функцией (показательно-степенной или сложной показательной) называется функция вида
у = uv, где u = u(х) и v = v(х) - заданные дифференцируемые функции от х.

Слайд 5

Найдем производную данной функции логарифмическим дифференцированием:
lny = vlnu.
Отсюда по формуле

(1) получим
откуда

Слайд 6

Подставив у = uv, получим
или
Замечание
Производная степенно-показательной функции состоит

из двух слагаемых. Первое слагаемое получается, если функцию дифференцировать как степенную функцию, считая v = const, а u - переменной; а второе слагаемое – если функцию дифференцировать как показательную функцию, считая u = const, а v - переменной от x.

Слайд 7

Логарифмическое дифференцирование может быть применено для отыскания производных не только степенно-показательных

функций, но и таких, непосредственное дифференцирование которых громоздко (произведение большого числа сомножителей, радикалы, дроби и т.д.).

Слайд 8

Пример 1. Найти у′, если
Решение
Прологарифмируем данную функцию:
Отсюда
Если воспользоваться выражением

(1), то получится такой же результат.

Слайд 9

Пример 2. Найти у′, если
Решение
Прологарифмируем данную функцию:
Умножая на у

и подставляя его значение, получим:

Слайд 10

Вопрос 2. Дифференцирование функций, заданных неявно
2.1. Неявное задание функции
О.2.1.Если функция

задана уравнением у = f(х), разрешенным относительно у, то говорят, что функция задана в явном виде (явная функция).
О.2.2.Под неявным заданием функции понимают задание функции у в виде уравнения
F(x,y) = 0, (2)
не разрешенного относительно у.

Слайд 11

Всякую явно заданную функцию у = f(х) можно записать как неявно

заданную уравнением
у ‒ f(х) = 0,
но не наоборот.
Чтобы выразить функцию у из уравнения (2), необходимо разрешить данное уравнение относительно у. В общем случае, при заданном х, уравнение (2) может иметь несколько корней у, т.е. неявная функция может быть многозначной.

Слайд 12

Пример 3. х2 + у2 = 1 - неявная функция ⇒

Не всегда легко, а иногда и невозможно, разрешить уравнение (2) относительно у.
Пример 4. у + 2ух = 0 - нельзя явно выразить у через х.

Слайд 13

2.2. Дифференцирование неявных функций
Пусть неявная функция у задана уравнением (2)
F(x,y) =

0, не разрешенным относительно у.
Правило дифференцирования неявной функции
Для того чтобы найти производную неявной функции, заданной уравнением (2), нужно продифференцировать уравнение (2), помня, что у является функцией от х и его производная равна у′. Затем разрешить полученное уравнение относительно у′.
Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у, т.е. сама является функцией неявной.

Слайд 14

Пример 5. Найти производную функции у, заданной уравнением х3 + у3

‒ 3ху = 0.
Решение
Дифференцируем данное уравнение по х, помня, что у есть функция от х, т.е. у = f(х). В результате получим:
Откуда

Слайд 15

Вопрос 3. Дифференцирование функций, заданных параметрически
3.1. Параметрическое задание функции
О.3.1.Параметрическим заданием функции

у = f(х) называется определение данной функции в виде системы двух уравнений относительно новой промежуточной переменной t, называемой параметром:
(3)
Выражение непосредственной зависимости у от х
(у = f(х)) может быть получено путем исключения параметра t из уравнений (3).

Слайд 16

Пример 6.
1)
2)
Здесь 0 ≤ t ≤ 2π.

Слайд 17

3.2. Дифференцирование функций, заданных параметрически
Пусть зависимость между аргументом х и функцией

у задана параметрически в виде системы двух уравнений (3), где t - параметр.
Т.3.1. (дифференцирование функции, заданной параметрически)
Если функция у от аргумента х задана параметрически системой (3), где функции х(t) и у(t) дифференцируемы, причем х′(t) ≠ 0, то производная этой функции выражается формулой
или

Слайд 18

Пример 7. Пусть . Найти у′х.
Решение

Слайд 19

Вопрос 4. Производные высших порядков
Производная у′ = f′(х) функции у =

f(х) есть так же функция от х и называется производной первого порядка или первой производной. Возможно, что эта функция сама имеет производную.
О.4.1. Производная от первой производной функции у = f(х) называется производной второго порядка или второй производной данной функции и обозначается одним из символов

Слайд 20

Таким образом
О.4.2. Производная от второй производной функции у = f(х) называется

производной третьего порядка или третьей производной данной функции и обозначается одним из символов
Таким образом

Слайд 21

Производные, начиная со второй, называются производными высших порядков.
О.4.3. Производная от (n‒1)-й

производной функции у = f(х) называется производной n-го порядка или n-й производной данной функции и обозначается одним из символов
Таким образом

Слайд 22

Начиная с производной 4-го порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами

в скобках.
Пример 8. уV или у(5) - производная 5-го порядка.
Для некоторых элементарных функций можно вывести формулы нахождения производных любого порядка.

Слайд 23

Пример 9. Найти производную n-го порядка функции у = ах.
Решение

Слайд 24

Механический (физический) смысл второй производной
Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону

S = S(t). Известно, что ʋ = S′(t) - скорость точки в данный момент времени t.
Можно показать, что вторая производная от пути по времени есть величина ускорения прямолинейного движения точки, т.е.

Слайд 25

4.2. Производные высших порядков неявных функций
Пусть неявная функция у задана уравнением

(2), т.е. F(x,y) = 0.
Продифференцировав уравнение (2) по х и разрешив полученное уравнение относительно у′, найдем первую производную. Продифференцировав по х первую производную, получим вторую производную у″ от неявной функции. В нее войдут х, у и у′. Подставляя уже найденное значение у′ в выражение второй производной, выразим у″ через х и у.
Аналогично поступаем для нахождения третьей производной и т.д.

Слайд 26

Пример 10. Найти у‴, если х2 + у2 = 1.
Решение
F(x,y) =

0 ⇒ х2 + у2 ‒ 1= 0.

Слайд 27

4.3. Производные высших порядков от функций, заданных параметрически
Пусть функция у =

f(х) задана параметрически в виде системы уравнений (3):
Первая производная у′х находится по формуле
(4)

Слайд 28

Найдем вторую производную от функции, заданной параметрически.
Из определения второй производной и

равенства (4) следует, что
Таким образом,
Аналогично получаются формулы:

Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций

Содержание

Вопрос 1. Логарифмическое дифференцирование Пусть у = lnu, где u = φ(х)

Таким образом, имеемили (1) Производная называется логарифмической производной функции u =

О.1.1. Операция, состоящая в последовательном применении к функции сначала логарифмирования (по

Найдем производную данной функции логарифмическим дифференцированием: lny = vlnu.Отсюда по формуле

Подставив у = uv, получим или Замечание Производная степенно-показательной функции состоит

Логарифмическое дифференцирование может быть применено для отыскания производных не только степенно-показательных

Пример 1. Найти у′, если РешениеПрологарифмируем данную функцию: ОтсюдаЕсли воспользоваться выражением

Пример 2. Найти у′, если РешениеПрологарифмируем данную функцию: Умножая на у

Вопрос 2. Дифференцирование функций, заданных неявно 2.1. Неявное задание функцииО.2.1.Если функция

Всякую явно заданную функцию у = f(х) можно записать как неявно

Пример 3. х2 + у2 = 1 - неявная функция ⇒

2.2. Дифференцирование неявных функций Пусть неявная функция у задана уравнением (2)F(x,y) =

Пример 5. Найти производную функции у, заданной уравнением х3 + у3

Вопрос 3. Дифференцирование функций, заданных параметрически3.1. Параметрическое задание функции О.3.1.Параметрическим заданием функции

Пример 6. 1) 2) Здесь 0 ≤ t ≤ 2π.

3.2. Дифференцирование функций, заданных параметрическиПусть зависимость между аргументом х и функцией

Пример 7. Пусть . Найти у′х. Решение

Вопрос 4. Производные высших порядков Производная у′ = f′(х) функции у =

Таким образомО.4.2. Производная от второй производной функции у = f(х) называется

Производные, начиная со второй, называются производными высших порядков.О.4.3. Производная от (n‒1)-й