Дискретные структуры. Теория графов. Способы представления графов

Сентябрь 13, 2022

Главная
Математика
Дискретные структуры. Теория графов. Способы представления графов

Содержание

2. Базовые понятия: множество граф бинарное отношение смежность инцидентность цикл матрица Термины Ключевые слова: матрица смежностей матрица
3. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. М.: Мир, 1978. С. 25-27. Харари Ф. Теория графов: Пер.
4. Основные принципы теории графов используются при построении математической модели для проектирования и анализа сетей ЭВМ Наиболее
5. Базовые сетевые топологии типа «кольцо», «звезда», «шина» и соответствующие им графы Актуальность и практическая направленность. 2
6. Матрица смежностей − двумерная таблица C=||cij|| размера n×n, где n − число вершин, элемент которой определяется
7. Для неориентированного графа матрица смежностей является симметричной Для ориентированного свойство симметрии не обязательно. Элемент матрицы определяется
8. Матрица инциденций B=||bij|| ориентированного графа G= без петель, где |V|=p, |U|=q, есть матрица размера p×q, элемент
9. Матрица циклов Z=||zij|| графа − матрица размерности m×n, m − количество циклов, n − число ребер,
10. Пример Неоднозначность представления графа матрицей циклов
11. По матрице смежностей можно однозначно восстановить граф: Матрица инциденций однозначно представляет граф: По матрице циклов нельзя
12. Выбор наилучшего представления определяется требованиями конкретной задачи Используются комбинации или модификации известных представлений Способы представления графов
13. Time-Out
14. Свойства модели: компактность представления информации о графе; привязка к распространенному математическому аппарату; наличие эффективных методов анализа
16. Скачать презентацию

Слайд 2

Базовые понятия:
множество
граф
бинарное отношение
смежность
инцидентность
цикл
матрица
Термины
Ключевые слова:
матрица смежностей
матрица инциденций

матрица циклов
алгебраическая форма представления графов (АФПГ)
кубическая форма представления графов (КФПГ)

Цель лекции – исследование способов представления графов для анализа графовых отношений и их аналитического описания

Слайд 3

Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. М.: Мир, 1978. С. 25-27.

Харари Ф. Теория графов: Пер. с англ. / под ред. Гаврилова. М.: Мир, 1973. С. 54-57, 178-184.
Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. С.-П., 2001. С. 201-205.
Хаханов В.І., Хаханова І.В., Кулак Е.М., Чумаченко С.В. Методичні вказівки до практичних занять з курсу “Дискретна математика”. Харків, ХНУРЕ. 2001. 87с.
Свами М., Тхуласираман К. Графы, сети и алгоритмы. М.: Мир, 1984. С. 64-77, 100-102.

Литература

Слайд 4

Основные принципы теории графов используются при построении математической модели для проектирования

и анализа сетей ЭВМ
Наиболее удобной моделью сети является графовая структура
Описание графовой структуры должно быть технологичным для машины
Матричная форма является удобной для представления графов
Матрицы позволяют раскрыть структуру графа
Матрицы инциденций и циклов используются при исследовании электрических цепей, входят в качестве коэффициентов в уравнение Кирхгофа, описывающее цепь
Матрицы смежностей служат основой подхода к описанию и анализу модели компьютерной сети

Актуальность и практическая направленность. 1

Слайд 5

Базовые сетевые топологии типа «кольцо», «звезда», «шина» и соответствующие им графы
Актуальность

и практическая направленность. 2

Слайд 6

Матрица смежностей − двумерная таблица C=||cij|| размера n×n, где n −

число вершин, элемент которой определяется как
Пример

Матрица смежностей

Слайд 7

Для неориентированного графа матрица смежностей является симметричной
Для ориентированного свойство симметрии не

обязательно. Элемент матрицы определяется как
Суммы элементов матрицы смежностей по строкам равны степеням соответствующих вершин графа

Матрица смежностей: свойства

Слайд 8

Матрица инциденций B=||bij|| ориентированного графа G= без петель, где |V|=p, |U|=q,

есть матрица размера p×q, элемент которой определяется следующим образом:
Пример

Матрица инциденций

Слайд 9

Матрица циклов Z=||zij|| графа − матрица размерности m×n, m − количество

циклов, n − число ребер, элемент zij которой определяется так
Пример

Матрица циклов

Слайд 10

Пример
Неоднозначность представления графа матрицей циклов

Слайд 11

По матрице смежностей можно однозначно восстановить граф:
Матрица инциденций однозначно представляет граф:
По

матрице циклов нельзя однозначно восстановить граф: если ребро не принадлежит ни одному циклу, то по матрице циклов нельзя сказать, принадлежит ли оно графу

Сравнение матричных способов представления графов

Слайд 12

Выбор наилучшего представления определяется требованиями конкретной задачи
Используются комбинации или модификации известных

представлений
Способы представления графов в памяти компьютера различаются объемом занимаемой памяти и скоростью выполнения операций
Для матрицы смежностей сложность представления определяется как О(n2), где n − количество вершин в графе
Для матрицы инциденций сложность определяется как O(nm), где n,m − число вершин и ребер соответственно

Сложность матричных способов представления графов

Слайд 13

Time-Out

Слайд 14

Свойства модели:
компактность представления информации о графе;
привязка к распространенному математическому
аппарату;
наличие эффективных методов

анализа графовых
отношений;
возможность аналитического описания функций и
структур.
Вершины графа и переменные в булевой алгебре связаны между собой системой отношений
Аппарат булевой алгебры может быть применен для описания графовых структур

Алгебраическая форма представления графов (АФПГ)

Дискретные структуры. Теория графов. Способы представления графов

Содержание

Базовые понятия: множествограф бинарное отношениесмежностьинцидентностьциклматрицаТерминыКлючевые слова: матрица смежностей матрица инциденций

Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. М.: Мир, 1978. С. 25-27.

Основные принципы теории графов используются при построении математической модели для проектирования

Базовые сетевые топологии типа «кольцо», «звезда», «шина» и соответствующие им графыАктуальность

Матрица смежностей − двумерная таблица C=||cij|| размера n×n, где n −

Для неориентированного графа матрица смежностей является симметричнойДля ориентированного свойство симметрии не

Матрица инциденций B=||bij|| ориентированного графа G= без петель, где |V|=p, |U|=q,

Матрица циклов Z=||zij|| графа − матрица размерности m×n, m − количество

ПримерНеоднозначность представления графа матрицей циклов

По матрице смежностей можно однозначно восстановить граф:Матрица инциденций однозначно представляет граф:По

Выбор наилучшего представления определяется требованиями конкретной задачиИспользуются комбинации или модификации известных