Дисперсионный анализ. Лекция 5

Чем больше параметров требуется учитывать, тем дороже проведение эксперимента.

Согласно закону Парето (принцип 20/80), значимых факторов немного, т.е. примерно 20% параметров дают 80% результата, а остальные 80% параметров — лишь 20% результата.

Дисперсионный анализ предназначен для качественного исследования модели процесса: y = f ( x1, x2, ... , xk ) на предмет оценки значимости каждого входного параметра на функцию У.
Математический аппарат, который занимается исследованием значимости входных параметров, называется дисперсионным анализом. В его основе лежит анализ вкладов каждого фактора в общую дисперсию эксперимента.

где У - общий вклад в общую дисперсию, который вносят все факторы; А - эффект фактора Х1, ε - эффект ошибки воспроизводимости.

ε рассчитывается в случае, если хотя бы в одной точке Хi проведено более одного эксперимента (Уi1, Уi2, Уi3).
Если в каждой точке Хi проведен только один эксперимент, то ε = 0.

Дисперсионная модель трехфакторного эксперимента строится по аналогии и будет содержать не только эффекты парных (AB, AC и BC) , но и тройного взаимодействия (ABC):
y = A + B + C + AB + AC + BC + ABC +ε

Для второго случая:
У = А + f(X1) + f(X2) + f(X1)*f(X2)
Член уравнения f(X1)*f(X2) показывает степень взаимодействия параметров Х1 и Х2 на функцию У.

Вспомним о сепарабельных функциях:

где Si2, S02 – дисперсии соответственно i-того и наименее значимого фактора (обычно от эффекта ошибки воспроизводимости ε);
FT – табличное (критическое) значение критерия Фишера;
fi и f0 – степени свободы i-того и 0-го факторов;
р – доверительная вероятность (обычно р=0,95).

Фактор Х2 измеряется на b равностоящих уровнях.
Счетчик уровней для Х2: j = 1, 2, …b.
В каждой узловой точке эксперимента проводится по n опытов.
n также является фактором, от которого зависит эффект ошибки воспроизводимости ε. Счетчик уровней по n: k = 1, 2, …, n

Определим общее число степеней свободы fобщ эксперимента:
fобщ = abn – 1.
Число степеней свободы каждого из факторов Х1 и Х2:
fx1 = f1 = a – 1 ; fx2 = f2 = b – 1 .
Число степеней свободы взаимодействия:
f12 = (a - 1 )( b - 1 ) .
Число степеней свободы ошибки воспроизводимости по ab точкам:
fо = ab( n - 1 ).

Это уравнение легко получить, если преобразовать правую часть тождества:
abn - 1 = (a -1) + (b - 1) + (a – 1)(b - 1) + ab(n - 1).

По аналогии можно получить первое основное уравнение для трехфакторного эксперимента:
fобщ = f1 + f2 + f3 + f12 + f13 + f23 + f123 + fо .
Число уровней фактора Х3 равно с (счетчик s = 1, 2, ... , c ). Недостающие числа степеней свободы равны:
f3 = c – 1; f123 = (a - 1)(b - 1)(c - 1) ; fо = abc(n - 1).

(2)

Раскрыв скобки и преобразовав уравнение (2), получим:

(3)

Между выражениями для расчета числа степеней свободы и суммы квадратов отклонений существует аналогия.

Аналогии между выражениями для расчета SSi и fi

Эту аналогию используем в качестве правила для формального написания суммы квадратов отклонений.
Для этого сначала необходимо написать выражение для числа степеней свободы и раскрыть в нем скобки. Затем, придерживаясь п.1 – 4, написать соответствующие члены искомых сумм.

Рассчитать суммы квадратов для двухфакторного эксперимента.