Донецкий Национальный Технический Университет Факультет Вычислительной Техники Кафедра Прикладной Математики и Информатики С

Метод Гаусса решения СЛАУ. Модификации. Варианты распараллеливания

Докладчик: Кожухов А.Е.

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ

Задание СЛАУ

или

При матричном задании СЛАУ имеют место обозначения:
А – матрица коэффициентов системы;
b

Задачи, сводимые к решению СЛАУ

К решению систем линейных алгебраических уравнений сводимы

Особенности постановки задач:
являются конечно–разностными или
конечно–элементными моделями;
задаются дифференциальными

Классы методов решения СЛАУ

Прямые методы:
а) метод Холесского для плотных матриц;
б) метод Холесского для

Итерационные методы:
а) метод Якоби;
б) метод Гаусса–Зейделя;
в) метод сопряжённых градиентов;
г) метод последовательной верхней релаксации;
д) метод ускорения Чебышева

МЕТОД ИСКЛЮЧЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ ГАУССА

Шаг прямого хода

Деление коэффициентов текущего уравнения на коэффициент при исключаемой переменной:

Шаг прямого хода

Для всех уравнений со 2–ого по n–ое выполнить действия:

Из уравнений со 2–ого по n–ое можно составить эквивалентную исходной систему

Результат выполнения прямого хода метода Гаусса

…

Обратный ход метода Гаусса – вычисление значений переменных, начиная с xn

МОДИФИКАЦИИ МЕТОДА ГАУССА

Метод Гаусса в матричной форме

Пусть задана исходная система уравнений. Тогда на

Метод Гаусса в матричной форме

Метод Гаусса в матричной форме