Элементы математической логики

Сентябрь 12, 2022

Главная
Математика
Элементы математической логики

Содержание

2. СОДЕРЖАНИЕ 1. Понятие «математическая логика» 2. Из истории... 3. Понятие «высказывание» 4. Логические операции над высказываниями
3. Математическая логика – современный вид формальной логики, то есть науки, изучающей умозаключения с точки зрения их
4. Вплоть до начала XIX века формальная логика практически не выходила за рамки силлогических умозаключений. Однако, начиная
5. ВЫСКАЗЫВАНИЕ Основным объектом, изучаемым математической логикой является высказывание. Высказыванием называется повествовательное предложение, о котором в данной
7. Высказывание обозначаются прописными латинскими буквами A, B, C,…. Подобно тому, как в алгебре числа обозначаются буквами
8. Отрицанием высказывания Х называется высказывание ¬Х, которое истинно, когда Х ложно, и ложно, когда Х истинно.
9. Конъюнкцией двух высказываний Х и Y называется высказывание, которое истинно только в том случае, когда Х
10. Дизъюнкцией двух высказываний Х и Y называется высказывание, которое истинно, когда хотя бы одно из них
11. Импликацией двух высказываний Х и Y называется высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда Х
12. Эквивалентностью высказываний Х и Y называется высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда Х и
13. ПОСТРОЕНИЕ ОТРИЦАНИЯ При построении отрицания к простому высказыванию используется простой речевой оборот «неверно, что...», либо отрицание
14. ПРЕДИКАТЫ Предикат — один из элементов логики первого и высших порядков. Начиная с логики второго порядка,
15. ПРИМЕР ПРЕДИКАТОВ Обозначим предикатом EQ(x, y) отношение равенства («x = y»), где x и y принадлежат
16. РАССУЖДЕНИЕ Рассуждение — сопоставление мыслей, связывание их для соответствующих выводов. Рассуждения является предметом логики. Логическое мышление
17. ОСНОВНЫЕ ФОРМЫ РАССУЖДЕНИЙ ПОНЯТИЕ СУЖДЕНИЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ ДЕДУКТИВНОЕ ИНДУКТИВНОЕ
18. Понятие — отображённое в мышлении единство существенных свойств, связей и отношений предметов или явлений. Суждение —
20. Скачать презентацию

Слайд 2

СОДЕРЖАНИЕ 1. Понятие «математическая логика» 2. Из истории... 3. Понятие «высказывание» 4. Логические

операции над высказываниями 5. Построение отрицания 6. Понятие «предикаты» 7. Понятие «рассуждение»

Слайд 3

Математическая логика – современный вид формальной логики, то есть науки, изучающей

умозаключения с точки зрения их формального строения. Математическая логика — это анализ методом рассуждений, при этом в первую очередь исследуются формы рассуждений, а не их содержание, т.е. математическая логика, исследует соотношения между основными понятиями математики, на базе которых доказываются математические утверждения.

Слайд 4

Вплоть до начала XIX века формальная логика практически
не выходила за рамки

силлогических умозаключений. Однако, начиная с работ Дж.Буля, можно говорить о превращении ее в математическую логику. Математическая логика – это обширная наука, которая кроме традиционной проблематики занимается вопросами оснований математики и теории алгоритмов и имеет целый ряд приложений.

Слайд 5

ВЫСКАЗЫВАНИЕ Основным объектом, изучаемым математической логикой является высказывание. Высказыванием называется повествовательное предложение, о котором

в данной ситуации можно сказать, что оно истинно или ложно, но не то и другое одновременно. Пример 1. Волга впадает в Каспийское море. Пример 2. Два больше трех. Первое высказывание является истинным, а второе — ложным. Таким образом, высказывание обладает свойством представлять истину или ложь, поэтому на высказывание можно смотреть как на величину, которая может принимать только одно из двух значений: «истина», «ложь».

Слайд 6

Слайд 7

Высказывание обозначаются прописными латинскими буквами A, B, C,…. Подобно тому, как

в алгебре числа обозначаются буквами a, b, c… Основные логические операции над высказываниями: 1)отрицание; 2)конъюнкция; 3)дизъюнкция; 4)импликация; 5)эквивалентность.

Слайд 8

Отрицанием высказывания Х называется высказывание ¬Х, которое истинно, когда Х ложно,

и ложно, когда Х истинно. Таблица истинности для отрицания.

Слайд 9

Конъюнкцией двух высказываний Х и Y называется высказывание, которое истинно только

в том случае, когда Х и Y оба истинны. Таблица истинности для конъюнкции.

Слайд 10

Дизъюнкцией двух высказываний Х и Y называется высказывание, которое истинно, когда

хотя бы одно из них истинно. Таблица истинности дизъюнкции.

Слайд 11

Импликацией двух высказываний Х и Y называется высказывание, которое ложно тогда

и только тогда, когда Х истинно, а Y ложно. Таблица истинности для импликации.

Слайд 12

Эквивалентностью высказываний Х и Y называется высказывание, которое истинно тогда и

только тогда, когда Х и Y оба истинны или ложны. Таблица истинности для эквивалентности.

Слайд 13

ПОСТРОЕНИЕ ОТРИЦАНИЯ При построении отрицания к простому высказыванию используется простой

речевой оборот «неверно, что...», либо отрицание строится к сказуемому, тогда к сказуемому добавляется частица «не», при этом слово «все» заменяется на «некоторые» и наоборот. Пример 1. Отрицанием высказывания «Все натуральные числа — четные» будет высказывание «Неверно, что все натуральные числа — четные». Пример 2. Отрицанием высказывания «Все целые числа являются отрицательными» будет высказывание «Некоторые целые числа не являются отрицательными».

Слайд 14

ПРЕДИКАТЫ Предикат — один из элементов логики первого и высших порядков.

Начиная с логики второго порядка, в формулах можно ставить кванторы по предикатам.
Предикат называют тождественно-истинным, если на любом наборе аргументов он принимает значение 1. Предикат называют тождественно-ложным, если на любом наборе аргументов он принимает значение 0. Предикат называют выполнимым, если хотя бы на одном наборе аргументов он принимает значение 1. Так как предикаты принимают только два значения, то к ним применимы все операции, например: отрицание, импликация, конъюнкция, дизъюнкция и т.д.

Слайд 15

ПРИМЕР ПРЕДИКАТОВ Обозначим предикатом EQ(x, y) отношение равенства («x = y»),

где x и y принадлежат R (множеству вещественных чисел). В этом случае предикат EQ будет принимать истинное значение для всех равных x и y. Более житейским примером может служить предикат ПРОЖИВАЕТ(x, y, z) для отношения «x проживает в городе y на улице z» или ЛЮБИТ(x, y) для «x любит y», где множество M — это множество всех людей.

Слайд 16

РАССУЖДЕНИЕ Рассуждение — сопоставление мыслей, связывание их для соответствующих выводов. Рассуждения

является предметом логики. Логическое мышление — способность мыслить точно и последовательно, не допуская противоречий в своих рассуждениях, и умение вскрывать логические ошибки. Правильное рассуждение — это рассуждение, в котором одни мысли с необходимостью вытекают из других мыслей.

Слайд 17

ОСНОВНЫЕ ФОРМЫ РАССУЖДЕНИЙ
ПОНЯТИЕ
СУЖДЕНИЕ
УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ
ДЕДУКТИВНОЕ
ИНДУКТИВНОЕ

Слайд 18

Понятие — отображённое в мышлении единство существенных свойств, связей и отношений

предметов или явлений.
Суждение — форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о предмете, его свойствах или отношениях между предметами. УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ: Дедукция (лат. deductio — выведение) — метод мышления, при котором частное положение логическим путём выводится из общего, вывод по правилам логики. Индукция (лат. inductio — наведение) — процесс логического вывода на основе перехода от частного положения к общему.