Содержание
- 2. Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации Шевелёв Александр Юрьевич доцент, кандидат физико- математических наук.
- 3. Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации Математика
- 4. Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации Тема №12. Элементы теории вероятностей
- 5. Случайное явление можно иногда характеризовать относительной частотой (или частостью) – отношением числа наступлений явления к общему
- 6. Классификация событий Любое явление, которое может произойти, называется событием. Событие рассматривается как результат испытания. (Обозначается большими
- 7. Классификация событий События бывают несовместными (несовместимыми), если наступление одного из них исключает возможность наступления другого. В
- 8. Классификация событий Событие называется достоверным, если оно не может не произойти в условиях данного опыта или
- 9. Классификация событий Два события, одно из которых обязательно должно произойти, причём наступление одного исключает возможность наступления
- 10. Классификация событий События А, В, С,…,М образуют полную систему (группу), если они являются единственно возможными и
- 11. Классификация событий Суммой конечного числа событий называется новое событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из
- 12. Классификация событий События А и В называются эквивалентными, если наступление события А влечёт за собой наступление
- 13. Классификация событий Р(А) – Вероятность события А равна отношению числа случаев, благоприятствующих событию А к общему
- 14. Классификация событий На практике не все условия классического определения вероятности можно выполнить, поэтому наряду с ним
- 15. Классификация событий Недостатки классического определения (конечное число возможных исходов испытания) можно преодолеть, используя геометрическое определение вероятности.
- 16. Задача Пример. Бросают одновременно два кубика. Какова вероятность в сумме получить 5 очков? Решение: Число благоприятствующих
- 17. Элементы комбинаторики Правило суммы. Если элемент может быть выбран способами, элемент - другими способами, и т.д.
- 18. Элементы комбинаторики 2. Правило произведения. Если элемент может быть выбран способами, После каждого такого выбора элемент
- 19. Задача Пример. В пачке билетов мгновенной лотереи содержится 3 билета с относительно крупным выигрышем и 15
- 20. Задача Пример. В спортивной команде 22 человека. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это
- 21. Элементы комбинаторики 3. Факториалом натурального числа называется произведение всех натуральных чисел от единицы до него включительно.
- 22. Элементы комбинаторики 4. Размещениями из n элементов некоторого множества по m называются подмножества, состоящие из m
- 23. Задача Пример. Школьное расписание на один день состоит из 4-х уроков по разным дисциплинам. Найти число
- 24. Элементы комбинаторики 5. Если комбинации, состоящие из n элементов, отличаются только порядком расположения этих элементов, то
- 25. Задача Пример. Порядок выступления пяти конкурсантов определяется жребием. Сколько существует различных вариантов жеребьёвки? Решение. вариантов.
- 26. Элементы комбинаторики 6. Если комбинации из n элементов по m отличаются только составом элементов (порядок их
- 27. Задача Пример. Сколькими способами можно выбрать 3 розы из 8-и, стоящих на витрине? Решение.
- 28. Основные теоремы (Сложения вероятностей). Вероятность суммы конечного числа несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий. Сумма
- 29. Классификация событий Два события называют независимыми, если проявление одного из них не меняет вероятность проявления другого.
- 30. Вероятность события А, найденная в предположении, что событие В наступило, называется условной вероятностью события А относительно
- 31. Основные теоремы 4. Вероятность совместного проявления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. (Теорема верна
- 32. Задача Пример. В трёх вазах по 10 конфет. В первой – 3 шоколадных, во второй –
- 33. Основные теоремы 5. (Умножения вероятностей зависимых событий). Вероятность совместного проявления двух зависимых событий равна произведению вероятности
- 34. Основные теоремы 6. Вероятность совместного проявления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на
- 35. Основные теоремы 7. Вероятность проявления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих
- 36. Задача Пример. Два стрелка поражают цель с вероятностями 0,8 и 0,6. С какой вероятностью будет поражена
- 37. Основные теоремы 8. (Формула полной вероятности). Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии проявления
- 38. Задача Пример. В трёх вазах по 10 конфет. В первой – 3 шоколадных, во второй –
- 39. Повторные независимые испытания Если производится несколько испытаний, причём вероятность события А в каждом испытании не зависит
- 40. Повторные независимые испытания Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, то вероятность
- 41. Задача Пример. Вероятность того, что посетитель магазина совершит покупку равна 0,25. Какова вероятность того, что среди
- 42. Дискретная случайная величина Случайной называют величину, которая в результате испытания принимает одно единственное возможное значение, наперёд
- 43. Дискретная случайная величина Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определёнными
- 44. Дискретная случайная величина Обычно закон распределения дискретной случайной величины представляется в виде таблицы: Следует помнить, что
- 45. Задача Пример. Команда состоит из двух стрелков. Число очков, выбиваемых каждым из них одним выстрелом, являются
- 46. Задача Составить закон распределения количества очков, выбиваемых командой при одновременном залпе (X+Y). Решение:
- 47. Задача
- 48. Задача
- 49. Дискретная случайная величина Закон распределения дискретной случайной величины называют биномиальным, если вероятность числа проявлений события в
- 50. Дискретная случайная величина Закон распределения полностью характеризует случайную величину, однако не всегда он известен и приходится
- 51. Математическим ожиданием дискретной случайной величины М(Х) называют сумму произведений всех её возможных значений на соответствующие этим
- 52. Задача В том же примере вычислить математические ожидания случайных величин X, Y, X+Y. Решение:
- 53. Дискретная случайная величина Вероятностный смысл математического ожидания: математическое ожидание приближённо равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной
- 54. Дискретная случайная величина Но в большинстве случаев математическое ожидание не может в достаточной степени характеризовать случайную
- 55. Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения этой случайной величины от её математического ожидания.
- 56. Дискретная случайная величина Среднее квадратическое отклонение (С.К.О.) вычисляется по формуле:
- 57. Задача В том же примере вычислить дисперсии случайных величин X, Y, X+Y. Решение:
- 58. Функцией распределения случайной величины Х называется функция выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина
- 59. Случайная величина Х называется непрерывной, если её функция распределения непрерывна во всех точках и дифференцируема всюду,
- 60. Плотностью вероятности непрерывной случайной величины называется производная её функции распределения.
- 61. Непрерывная случайная величина Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины вычисляются по формулам:
- 62. Непрерывная случайная величина Непрерывная случайная величина Х имеет на отрезке [a; b] равномерный закон распределения, если
- 63. Непрерывная случайная величина Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения (гауссовский), если её плотность вероятности
- 64. Непрерывная случайная величина Математическое ожидание и С.К.О. (или дисперсия) являются параметрами нормального закона распределения.
- 66. Скачать презентацию