Элементы теории вероятностей

Сентябрь 13, 2022

Главная
Математика
Элементы теории вероятностей

Содержание

2. На чем основана теория информации?
3. Все эти операции над множествами описываются тремя операциями: Операцией объединения Операцией пересечения Операцией отрицания.
4. Аксиоматическое построение теории вероятности предложено Андреем Николаевичем Колмогоровым (25 апреля 1903 – 20 октября 1987)
5. Аксиоматическое построение теории вероятности предложено Андреем Николаевичем Колмогоровым Предположим, есть некоторое полное множество всех возможных элементарных
6. Аксиома 1. Каждому случайному событию A поставлено в соответствие неотрицательное число P(A), называемое его вероятностью. Аксиома
7. Элементарные следствия аксиом: 1. Вероятность невозможного события равна нулю. Из очевидного равенства и аксиомы 3 следует,
8. Элементарные следствия аксиом: 2. Для любого события А
9. Элементарные следствия аксиом: 3. Каково бы ни было случайное событие А,
10. Элементарные следствия аксиом: 4. Если событие А влечет за собой событие В, то
11. Элементарные следствия аксиом: 5. Пусть А и В – это два произвольных события. Поскольку в суммах
12. Условная вероятность и простейшие основные формулы Если то справедлива теорема умножения: вероятность произведения двух случайных событий
13. Независимость случайных событий Говорят, что событие А независимо от события В, если имеет место равенство: то
14. Для независимых событий теорема умножения принимает особенно простой вид, а именно, если события А и В
15. Формула полной вероятности Предположим, что событие В может осуществиться с одним и только с одним и
16. Пример. Имеется 5 урн: 2 урны состава А1 – 2 белых и 1 черный шар; 1
17. Формула Байеса Пусть по-прежнему Найти По теореме умножения имеем: Используя формулу полной вероятности, находим, что
19. Скачать презентацию

Слайд 2

На чем основана теория информации?

Слайд 3

Все эти операции над множествами описываются тремя операциями:
Операцией объединения
Операцией пересечения
Операцией отрицания.

Слайд 4

Аксиоматическое построение теории вероятности предложено Андреем Николаевичем Колмогоровым (25 апреля 1903 – 20 октября

1987)

Слайд 5

Аксиоматическое построение теории вероятности предложено Андреем Николаевичем Колмогоровым
Предположим, есть некоторое полное множество всех

возможных элементарных событий - E. Это множество состоит из ряда несовместимых событий: A1, A2, A3, …, An, …

Слайд 6

Аксиома 1. Каждому случайному событию A поставлено в соответствие неотрицательное число

P(A), называемое его вероятностью.
Аксиома 2. P(E) = 1.
Аксиома 3. (аксиома сложения). Если события A1, A2, A3, …, An попарно несовместимы, то P(A1+A2+A3+…+An) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + …+ P(An).

Аксиоматическое построение теории вероятности предложено Андреем Николаевичем Колмогоровым:

Слайд 7

Элементарные следствия аксиом:
1. Вероятность невозможного события равна нулю.
Из очевидного равенства
и аксиомы 3

следует, что

Слайд 8

Элементарные следствия аксиом:
2. Для любого события А

Слайд 9

Элементарные следствия аксиом:
3. Каково бы ни было случайное событие А,

Слайд 10

Элементарные следствия аксиом:
4. Если событие А влечет за собой событие В,

то

Слайд 11

Элементарные следствия аксиом:
5. Пусть А и В – это два произвольных

события. Поскольку в суммах

=

+

и

=

+

слагаемые являются несовместимыми событиями, то по аксиоме 3 имеем:

Отсюда следует теорема сложения для произвольных событий А и В:

Слайд 12

Условная вероятность и простейшие основные формулы
Если
то справедлива теорема умножения:
вероятность произведения двух

случайных событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого, при условии, что первое произошло:

Слайд 13

Независимость случайных событий
Говорят, что событие А независимо от события В, если

имеет место равенство:

то есть, если наступление события В не изменяет вероятности события А.

Из предыдущей теоремы умножения:

следует, что

Слайд 14

Для независимых событий теорема умножения
принимает особенно простой вид, а именно, если

события А и В независимы, то

Слайд 15

Формула полной вероятности
Предположим, что событие В может осуществиться с одним и

только с одним и n несовместимых событий A1, A2, A3, …, An. Иными словами положим, что

События ВАi и ВАj с разными индексами i и j несовместимы. По теореме сложения вероятностей имеем:

Использовав теорему умножения, находим, что

Слайд 16

Пример. Имеется 5 урн:
2 урны состава А1 – 2 белых и

1 черный шар;
1 урна состава А2 – 10 черных шаров;
2 урны состава А3 – 3 белых и 1 черный шар.

Наудачу выбирается урна и из неё наудачу вынимается шар. Чему равна вероятность, что вынутый шар белый (событие В)?
Решение:

По формуле полной вероятности находим, что

Слайд 17

Формула Байеса
Пусть по-прежнему
Найти
По теореме умножения имеем:
Используя формулу полной вероятности, находим, что