Матрицы и операции над ними

Матрицей называется множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m

,где aij- элемент матрицы
i- номер строки: i=1,2,…,m
j- номер столбца: j=1,2,…,n

Если у матрицы m строк и n столбцов, то она имеет

Квадратная матрица n-го порядка:

главная диагональ

побочная диагональ

Если у квадратной матрицы отличны от нуля только элементы, лежащие

Матрица, у которой все элементы, лежащие выше (ниже) главной диагонали

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей.

Дана прямоугольная матрица m×n .
Если m=1, то получаем матрицу-строку:

Если

Две матрицы называются равными, если они одинаковой размерности и соответствующие

Линейные операции над матрицами.

Суммой матриц A=(aij) и B=(bij) называется матрица C=(cij)

Найти А + В и А - В:

Свойства сложения матриц:

А+В=В+А закон коммутативности

2) (А+В)+С=А+(В+С) закон ассоциативности

3) , что А+0=0+А=А

4) ∀А

Произведением матрицы A=(aij) на число к∈R, называется матрица кА, каждый элемент

Свойства умножения матрицы на число:

1) (а+b)А=аА+bА
закон дистрибутивности относительно сложения чисел

2) a(А+В)=aА+aB
закон

Произведением матриц Am×n=(aij) и Bn×p=(bjk) называется матрица Cm×p=(cik)=A·B, элементы которой

Найти А·В и B·A:

Найти А·В и B·A:

умножение матриц имеет смысл только в том случае, когда число столбцов

Свойства умножения матриц:

АВ≠ВА

А(ВС)=(АВ)С закон ассоциативности

(А+В)С=АС+ВС закон дистрибутивности

Если ∃АВ, то а(АВ)=(аА)В=А(аВ), а∈R

5)

Если АВ=ВА, то матрица А и В называются перестановочными или коммутирующими.

Если в диагональной матрице все элементы главной диагонали 1, то матрица

Если в матрице переставить строки местами со столбцами, то получим матрицу,

Матрица называется симметричной, если
симметричная

Свойства транспонированной матрицы:

Даны матрицы А и В: Вычислить:

Каков порядок матриц А и В? Вычислить АВ.