Элементы векторной алгебры

Август 8, 2022

Главная
Математика
Элементы векторной алгебры

Содержание

2. Учебные цели: 1. Рассмотреть важнейшие понятия векторный алгебры. 2. Раскрыть смысл линейных операций над векторами и
3. Учебные вопросы: Векторы: основные понятия и виды. 2. Действия с векторами. 3. Скалярное, векторное и смешанное
4. Величины, которые полностью определяются своими численными значениями, называются скалярными. Например, площадь, объем, температура, работа, масса. Другие
5. Отрезок называется направленным, если считается, что у него есть начало и конец. Вектор – это направленный
6. ПЕРВЫЙ УЧЕБНЫЙ ВОПРОС ВЕКТОРЫ: ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ВИДЫ
7. Длиной (модулем) вектора называется длина отрезка AB, то есть расстояние между началом и концом вектора. Обозначение:
8. Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Два вектора
9. Аналитическая геометрия позволяет решать задачи с участием векторных величин с использованием координат. Проведем вектор и опустим
10. Проекцией вектора на ось называется положительное число , если вектор и ось одинаково направлены, и отрицательное
11. Обозначение координат вектора: Или: Обратите внимание: координаты вектора, в отличие от координат точки, заключаются в фигурные
12. Теорема 1. Каковы бы ни были две точки и , координаты вектора определяются единственным образом: (По
13. Декартова прямоугольная система координат X Y Z О x,y.z - декартовы прямоугольные координаты вектора относительно данной
14. Рассмотрим произвольный вектор длина вектора равна: Перенесем его параллельно, совместив начало с началом координат. На основании
15. Пусть – орты осей координат, то есть векторы единичной длины, совпадающие по направлению соответственно с координатными
16. Теорема 2. Любой трехмерный вектор может быть единственным образом разложен по базису , т.е. представлен в
17. Проекция вектора на ненулевой вектор : проекция на любую ось, одинаково направленную с Пусть дана прямая,
18. ВТОРОЙ УЧЕБНЫЙ ВОПРОС ДЕЙСТВИЯ С ВЕКТОРАМИ
19. Если векторы заданы своими координатами: то линейные операции над векторами сводятся к линейным операциям над координатами
20. (координаты разности двух векторов равны разностям соответствующих координат этих векторов); 3. (координаты произведения числа k на
21. Используя определение произведения числа на вектор, нетрудно получить условие коллинеарности векторов: векторы и коллинеарны в том
22. ТРЕТИЙ УЧЕБНЫЙ ВОПРОС СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ
23. Вопрос 3. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Умножение векторов производится по специфическим правилам, и кроме
24. 3.1. Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число (скаляр), равное произведению длин
25. Основные свойства скалярного произведения Коммутативность (переместительный закон): Ассоциативность (сочетательный закон – по отношению к скалярному множителю):
26. 4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: То есть, если вектор возвести скалярно в квадрат,
27. Физический смысл скалярного произведения: работа постоянной силы (вектора ), точка приложения которой перемещается из начала в
28. Скалярное произведение векторов, заданных координатами Пусть тогда: Доказательство: перемножим скалярно векторы и , разложив их по
29. Замечание. Угол между векторами и определяется равенством: Пример 1. Найти скалярное произведение векторов Решение. По формуле
30. 3.2. Векторное произведение векторов Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости
31. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор который определяется тремя условиями: 1. Длина вектора равна площади
32. 2. Вектор перпендикулярен каждому из векторов и . 3. Векторы , и образуют правую упорядоченную тройку.
33. 3. Дистрибутивность: 4. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов является равенство нулевому вектору их
34. 3.3. Смешанное произведение векторов Смешанным произведением трех векторов: , и называется число, равное произведению: Основные свойства
35. Замечание. В соответствии со свойством 2 и свойством коммутативности скалярного произведения (свойство 1)), (перемена знаков векторного
36. 4. Необходимым и достаточным условием компланарности трех ненулевых векторов является равенство нулю их смешанного произведения (взятого
37. Смешанное произведение векторов, заданных координатами Пусть тогда: Пусть
38. Пример 3. Найти смешанное произведение векторов: Решение. По формуле (5) находим: Пусть
40. Скачать презентацию

Слайд 2

Учебные цели:
1. Рассмотреть важнейшие понятия векторный алгебры.
2. Раскрыть смысл линейных операций

над векторами и правил их выполнения.
3. Изложить содержание понятий скалярного, векторного и смешанного произведений и их основных свойств.

Слайд 3

Учебные вопросы:
Векторы: основные понятия и виды.
2. Действия с векторами.
3. Скалярное, векторное

и смешанное произведения векторов.

Слайд 4

Величины, которые полностью определяются своими численными значениями, называются скалярными. Например, площадь,

объем, температура, работа, масса.
Другие величины, например, сила, скорость, ускорение, определяются не только своими числовыми значениями, но и направлениями. Такие величины называются векторными. Геометрически они изображаются с помощью вектора.
Векторная алгебра – раздел математики, в котором изучаются простейшие операции над векторами. К числу таких операций относятся линейные операции (сложение, вычитание векторов и умножение вектора на число), а также различные произведения векторов.

Слайд 5

Отрезок называется направленным, если считается, что у него есть начало и

конец.
Вектор – это направленный прямолинейный отрезок, то есть отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление (рис. 1).
Пусть A – начало, B – конец вектора, тогда обозначение вектора: , (или , )

Рис. 1

Слайд 6

ПЕРВЫЙ УЧЕБНЫЙ ВОПРОС
ВЕКТОРЫ: ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ВИДЫ

Слайд 7

Длиной (модулем) вектора называется длина отрезка AB, то есть расстояние между

началом и концом вектора.
Обозначение:
Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым и обозначается или просто 0. Длина нулевого вектора равна нулю. Понятие направления для нулевого вектора не вводится.
Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Обозначение:

Слайд 8

Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно. Нулевой вектор считается

коллинеарным любому вектору.
Два вектора и называются равными ( ), если они
коллинеарны,
одинаково направлены,
имеют равные длины.
Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, а начало вектора помещать в любую точку пространства.

Слайд 9

Аналитическая геометрия позволяет решать задачи с участием векторных величин с использованием

координат.
Проведем вектор и опустим из его начала и конца перпендикуляры на произвольную ось l. Получим вектор (рис. 2).

Слайд 10

Проекцией вектора на ось называется
положительное число , если вектор и

ось
одинаково направлены, и отрицательное число ,
если вектор и ось противоположно направлены.
Если точки A1 и B1 совпадают, то проекция вектора р равна нулю.
Рассмотрим далее декартову прямоугольную систему координат Оxy.
Координатами вектора называются его проекции на оси координат

Слайд 11

Обозначение координат вектора:
Или:
Обратите внимание: координаты вектора, в отличие от координат точки,

заключаются в фигурные скобки.
Два вектора и равны тогда и только тогда, когда выполняются равенства их одноименных координат, т.е.

Слайд 12

Теорема 1.
Каковы бы ни были две точки и
,

координаты вектора
определяются единственным образом:
(По этой же формуле можно вычислить расстояние между точками А и В).

Слайд 13

Декартова прямоугольная система координат
X
Y
Z
О
x,y.z - декартовы прямоугольные координаты вектора относительно

данной системы координат

Слайд 14

Рассмотрим произвольный вектор
длина вектора равна:
Перенесем его параллельно, совместив начало с началом

координат.
На основании теоремы о длине диагонали прямоугольного параллелепипеда (или теоремы Пифагора, примененной дважды),

Слайд 15

Пусть – орты осей координат, то есть векторы единичной длины, совпадающие

по направлению соответственно с координатными осями Ох, Оу, Оz.
Тройка таких векторов называется ортонормированным базисом трехмерного пространства

Слайд 16

Теорема 2.
Любой трехмерный вектор может быть единственным образом разложен по

базису , т.е. представлен в виде:
где , – координаты вектора .
Если через α, β, γ обозначить углы между вектором и осями координат, то , называют направляющими косинусами вектора .
Причем:

Слайд 17

Проекция вектора на ненулевой вектор : проекция на любую ось, одинаково

направленную с

Пусть дана прямая, на которой выбрано направление, зафиксирована точка (начало) и указан масштаб измерения длин

Слайд 18

ВТОРОЙ УЧЕБНЫЙ ВОПРОС
ДЕЙСТВИЯ С ВЕКТОРАМИ

Слайд 19

Если векторы заданы своими координатами:
то линейные операции над векторами сводятся к

линейным операциям над координатами этих векторов:
1.
(координаты суммы двух (или более) векторов равны суммам соответствующих координат слагаемых);
2.

Слайд 20

(координаты разности двух векторов равны разностям соответствующих координат этих векторов);
3.
(координаты произведения

числа k на вектор (или вектора на число) равны произведениям числа на координаты данного вектора).
Вспомним: произведением вектора на число k называется вектор или , который коллинеарен исходному вектору , имеет длину, равную , и направлен так же, как вектор , если k>0, или противоположно, если k<0.

Слайд 21

Используя определение произведения числа на вектор, нетрудно получить условие коллинеарности векторов:

векторы и коллинеарны в том и только в том случае, когда один из них может быть получен умножением другого на некоторое число.
То есть , или
Иначе говоря, условие коллинеарности векторов состоит в пропорциональности их координат:

Слайд 22

ТРЕТИЙ УЧЕБНЫЙ ВОПРОС
СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ
И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ

Слайд 23

Вопрос 3. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов
Умножение векторов производится по

специфическим правилам, и кроме того, существует три вида произведений векторов: скалярное, векторное и смешанное.
Каждый из этих видов произведений имеет свой геометрический смысл и свое применение для решения важнейших вопросов в задачах физики и механики, а также в задачах о взаимном расположении линий и плоскостей.

Слайд 24

3.1. Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух ненулевых векторов
и называется

число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Обозначение:
Итак, по определению:
где — угол между векторами и

Слайд 25

Основные свойства скалярного произведения
Коммутативность (переместительный закон):
Ассоциативность (сочетательный закон – по отношению

к скалярному множителю):
Дистрибутивность (распределительный закон):

Слайд 26

4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины:
То есть, если

вектор возвести скалярно в квадрат, а затем извлечь корень, то получится не первоначальный вектор, а его длина .
Доказательство:
Необходимым и достаточным условием ортогональности (взаимной перпендикулярности) двух ненулевых векторов является равенство нулю их скалярного произведения:

Слайд 27

Физический смысл скалярного произведения: работа постоянной силы (вектора ), точка приложения

которой перемещается из начала в конец вектора .
Пример. Материальная точка движется из точки A в
точку B под действием силы .
Работа этой силы по перемещению материальной точки вдоль вектора перемещения определяется следующим образом:

Слайд 28

Скалярное произведение векторов, заданных координатами
Пусть
тогда:
Доказательство: перемножим скалярно векторы и , разложив

их по базису.

Слайд 29

Замечание. Угол между векторами и определяется равенством:
Пример 1. Найти скалярное произведение

векторов
Решение. По формуле (2) находим:
Согласно свойству 5 скалярного произведения, данные векторы перпендикулярны.

Слайд 30

3.2. Векторное произведение векторов
Три вектора в пространстве называются компланарными, если они

лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Три некомпланарных вектора , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден совершающимся против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой

Слайд 31

Векторным произведением вектора на вектор
называется вектор который определяется тремя

условиями:
1. Длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, то есть:
ь где – угол
между векторами и

Слайд 32

2. Вектор перпендикулярен каждому из векторов
и .
3. Векторы , и образуют

правую упорядоченную тройку.
Основные свойства векторного произведения
1. Антикоммутативность.
2. Ассоциативность (сочетательность) относительно числового множителя.

Слайд 33

3. Дистрибутивность:
4. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов является

равенство нулевому вектору их векторного произведения:
Векторное произведение векторов, заданных координатами
Пусть:
тогда:

Слайд 34

3.3. Смешанное произведение векторов
Смешанным произведением трех векторов: , и
называется число,

равное произведению:
Основные свойства смешанного произведения
Смешанное произведение , если
векторы , и образуют правую тройку;
– если левую.
2. Круговая перестановка множителей не меняет величины смешанного произведения:

Слайд 35

Замечание. В соответствии со свойством 2 и свойством коммутативности скалярного произведения

(свойство 1)),
(перемена знаков векторного и скалярного умножения).
На основании свойства 2, смешанное произведение трех векторов можно обозначить проще:
(без знаков умножения).
3. Модуль смешанного произведения равняется объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах , и

Слайд 36

4. Необходимым и достаточным условием компланарности трех ненулевых векторов является равенство

нулю их смешанного произведения (взятого в произвольном порядке:
(В частности, если любые два вектора из векторов , и коллинеарны, то )

Слайд 37

Смешанное произведение векторов, заданных координатами
Пусть
тогда:
Пусть

Слайд 38

Элементы векторной алгебры

Содержание

Учебные цели:1. Рассмотреть важнейшие понятия векторный алгебры.2. Раскрыть смысл линейных операций

Учебные вопросы:Векторы: основные понятия и виды.2. Действия с векторами.3. Скалярное, векторное

Величины, которые полностью определяются своими численными значениями, называются скалярными. Например, площадь,

Отрезок называется направленным, если считается, что у него есть начало и

ПЕРВЫЙ УЧЕБНЫЙ ВОПРОСВЕКТОРЫ: ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ВИДЫ

Длиной (модулем) вектора называется длина отрезка AB, то есть расстояние между

Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно. Нулевой вектор считается

Аналитическая геометрия позволяет решать задачи с участием векторных величин с использованием

Проекцией вектора на ось называется положительное число , если вектор и

Обозначение координат вектора:Или:Обратите внимание: координаты вектора, в отличие от координат точки,

Теорема 1. Каковы бы ни были две точки и ,

Декартова прямоугольная система координат XYZОx,y.z - декартовы прямоугольные координаты вектора относительно

Рассмотрим произвольный вектордлина вектора равна:Перенесем его параллельно, совместив начало с началом

Пусть – орты осей координат, то есть векторы единичной длины, совпадающие

Теорема 2. Любой трехмерный вектор может быть единственным образом разложен по

Проекция вектора на ненулевой вектор : проекция на любую ось, одинаково

ВТОРОЙ УЧЕБНЫЙ ВОПРОСДЕЙСТВИЯ С ВЕКТОРАМИ

Если векторы заданы своими координатами:то линейные операции над векторами сводятся к

(координаты разности двух векторов равны разностям соответствующих координат этих векторов);3.(координаты произведения

Используя определение произведения числа на вектор, нетрудно получить условие коллинеарности векторов:

ТРЕТИЙ УЧЕБНЫЙ ВОПРОССКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ

Вопрос 3. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторовУмножение векторов производится по

3.1. Скалярное произведение векторовСкалярным произведением двух ненулевых векторов и называется

Основные свойства скалярного произведенияКоммутативность (переместительный закон):Ассоциативность (сочетательный закон – по отношению

4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: То есть, если