Математические преобразования в МР-томографии

План лекции

Двумерное преобразование Фурье
Преобразование Фурье
Теорема о свертке
Фильтрация изображений
Преобразование Радона
Преобразование Радона
Теорема о

Одномерное преобразование Фурье

Прямое преобразование сигнал во времени в спектр по частоте
Обратное

Двумерное преобразование Фурье

Аналогично одномерному случаю – прямое преобразование
И обратное преобразование

Двумерное дискретное преобразование Фурье

Для дискретного набора данных – прямое преобразование
И обратное

Двумерное преобразование Фурье

Как и в случае одномерного преобразования Фурье, двумерное преобразование

Изображение и его пространственный спектр

Изображение Спектр Фильтр

Изображение и его пространственный спектр

Изображение LP HP

Дискретная двумерная свертка

Для двух дискретных функций свертка определяется, как
Пределы суммирования могут

Связь свертки и преобразования Фурье

Теорема о свертке

Свертка, как фильтр

Так как результатом свертки является модификация каждого значения функции

Ядро усреднения

Рассмотрим действие ядра
Из определения свертки – сопоставит значению функции значение,

Ядро размытия

Примеры действия ядра 3х3 9х9

Ядро усреднения по Гауссу

Рассмотрим действие ядра
При выборе большого σ – фильтр

Усреднение по Гауссу

Градиент (производная первого порядка)

Ядро Превитта (в зависимости от направления взятия производной)
Ядро

Ядро Превитта

Примеры действия ядра dx dy

Ядро Собеля

Примеры действия ядра dx dy

Лапласиан

Сочетание двух производных второго порядка по двум координатам
Форма – из численной

Лапласиан

Преобразование Радона

Прямое преобразование: переводит двумерную функцию в её интеграл вдоль произвольной

Преобразование Радона

Пример преобразования

Обратное преобразование Радона

Обратное преобразование радона (алгоритм обратной проекции)
И его дискретная модель

Обратное преобразование Радона

Точность реконструкции зависит от числа проекций
5 12 180

Обратное преобразование Радона

Однако, даже при большом числе проекций реконструкция получается неточной
Для

Теорема о центральном сечении

Фурье-преобразование проекции функции на ось является Фурье-образом функции

Алгоритм отфильтрованной обратной проекции

Предполагает реконструкцию исходного изображения из проекций, прошедших фильтрацию

Алгоритм отфильтрованной обратной проекции

Пример преобразования