Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей §53. Формула бинома Ньютона

Содержание

Слайд 2

Содержание Введение Проанализируем полученные формулы Предположение Доказательство формулы Биномиальные коэффициенты Пример

Содержание

Введение
Проанализируем полученные формулы
Предположение
Доказательство формулы
Биномиальные коэффициенты

Пример
Свойство биномиальных коэффициентов
Для учителя
Источники

08.02.2014

Цыбикова Тамара Раднажаповна,

учитель математики
Слайд 3

Введение Известно, что (а + b)2 = а2 + 2аb +

Введение

Известно, что (а + b)2 = а2 + 2аb + b2.
Умножив обе

части этого тождества на (а + b), получим: (а + b)3= (а2 + 2аb + b2)(а + b) = = а3 + За2b + Заb2 + b3. Аналогично умножив обе части тождества (а + b)3 = а3+ За2b + Заb2 + b3 на (а + b), получим: (а + b)4 = (а3 + За2b + 3 аb2 + b3)(а + b) = а4 + 4а3b + 6а2b2 + 4аb3 + b4.
Итак,
(а + b)1 = а + b;
(а + b)2 = а2 + 2аb + b2;
(а + b)3 = а3 + За2b + 3аb2 + b3;
(а + b)4 = а4 + 4а3b + 6а2b2 + 4аb3 + b4.

08.02.2014

Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Слайд 4

Проанализируем полученные формулы Замечаем, во-первых, что в правой части любой из

Проанализируем полученные формулы


Замечаем, во-первых, что в правой части любой из

формул сумма показателей при переменных в каждом одночлене равна показателю двучлена в левой части. Например, в последней формуле двучлен возводится в четвертую степень и сумма показателей при а и b в каждом слагаемом в правой части равна 4. Впрочем, это понятно, ведь (а + b)4 — это (а + b)(а + b)(а + b)(а + b) и после раскрытия скобок получится многочлен, состоящий из одночленов а4, а3b, а2b2, аb3, b4 с некоторыми коэффициентами.
Замечаем, во-вторых, что коэффициенты при одночленах в правых частях формул ассоциируются с треугольником Паскаля, о котором мы говорили в § 52. Сравните числа, имеющиеся в первых четырех строках треугольника, с соответствующими коэффициентами при одночленах в каждой из четырех формул. Полное совпадение.

08.02.2014

Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Слайд 5

Предположение Естественно предположить, что подмеченная закономерность сохранится и в общем случае,

Предположение

Естественно предположить, что подмеченная закономерность сохранится и в общем

случае, т. е. для любого натурального значения n верна следующая формула:

08.02.2014

Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Слайд 6

Доказательство формулы Рассмотрим произведение n двучленов (а + b)(а + b)(а

Доказательство формулы

Рассмотрим произведение n двучленов (а + b)(а + b)(а +

b)•...• (а + b) и докажем, что коэффициент при одночлене an-kbk равен .
В самом деле, чтобы, раскрыв скобки, получить одночлен вида an-kbk, нужно из n множителей вида (а + b) выбрать k множителей (порядок не важен), откуда берется переменная b; тогда автоматически из оставшихся n-k множителей будет взята переменная а. Но выбрать k множителей из n имеющихся без учета порядка можно  способами, что и требовалось доказать.    •

08.02.2014

Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Слайд 7

Биномиальные коэффициенты Формулу (1) обычно называют формулой бинома Ньютона (бином —

Биномиальные коэффициенты

Формулу (1) обычно называют формулой бинома Ньютона (бином — двучлен),

а коэффициенты
биномиальными коэффициентами.

08.02.2014

Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Слайд 8

Пример Раскрыть скобки в выражении: а) (x + 1)6; б) (а2

Пример

Раскрыть скобки в выражении:
а) (x + 1)6;
б) (а2 - 2b)5.
Решение:


а) Применим формулу (1), считая, что а = x, b= 1, n = 6. Получим:

08.02.2014

Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Слайд 9

08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

08.02.2014

Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Слайд 10

Свойство биномиальных коэффициентов В заключение получим одно любопытное свойство биномиальных коэффициентов.

Свойство биномиальных коэффициентов

В заключение получим одно любопытное свойство биномиальных коэффициентов. Составим

формулу бинома Ньютона для выражения (х + 1)n (подобно тому, как в рассмотренном примере мы применили формулу бинома Ньютона к выражению (х + I)6). Получим:

08.02.2014

Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Слайд 11

Для учителя 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Для учителя

08.02.2014

Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Слайд 12

08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

08.02.2014

Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики