Игры с природой: принятие решений в условиях риска. Лекция 6

План лекции

6.1. Критерии оптимальности в условиях риска

6.2. Критерий Ходжа-Лемана
6.3. Критерий

3.3. Принятие решений в условиях риска

Критерии оптимальности в условиях риска:
критерий Байеса;
критерий

1.1 Критерий Байеса относительно выигрышей
Предположим, что игроку А известны не

Матрицу выигрышей игрока А и вероятности состояний природы П можно представить

Чистую стратегию Аi можно определить как случайную величину со следующим законом

Критерий Байеса относительно выигрышей
позволяет выбрать максимальный из ожидаемых элементов матрицы

1.2 Критерий Байеса относительно рисков
Матрицу рисков игрока А и вероятности

Показателем эффективности стратегии Аi по критерию Байеса относительно рисков является математическое

Критерий Байеса относительно рисков позволяет выбрать минимальное значение из средних рисков

2.1 Критерий Лапласа относительно выигрышей
Вероятность состояний природы оценивается субъективно как равнозначные.

Имеется игра с природой, в которой игрок А обладает m чистыми

Показателем эффективности чистой стратегии Аi по критерию Лапласа относительно выигрышей является

Критерий Лапласа относительно выигрышей
предполагает выбор варианта стратегии с максимальной

2.2 Критерий Лапласа относительно рисков

Матрицу рисков игрока А и вероятности состояний

Показателем неэффективности чистой стратегии Аi по критерию Лапласа относительно рисков является

Критерий Лапласа относительно рисков
предполагает выбор варианта стратегии с минимальным риском

3. Критерий максимальной вероятности

Рассмотрим игру с природой размера
m x

Максимальную вероятность может иметь не одно состояние природы. А также максимальное

Показателем эффективности чистой стратегии Аi по критерию максимальной вероятности относительно выигрышей,

В связи с этим рассматривается матрица m x σ, которая получается

6.1 Принятие решений в условиях риска

Ценой игры (Qp) по критерию максимальной

Пример:

Найти оптимальную стратегию по критерию максимальной вероятности относительно выигрышей при вероятностях

Решение:

Находим максимальную вероятность

Максимальной вероятности соответствует состояние природы П3, следовательно матрица примет

4. Критерий Гермейера относительно выигрышей

Рассмотрим игру с природой размера (m ≥

3.3. Принятие решений в условиях риска

По критерию Гермейера (АG) эффективность чистых

Матрица Гермейера состоит из элементов Гермейера и выглядит следующим образом:

6.1 Принятие

При выборе стратегии игрок А предполагает, что природа будет находиться в

Ценой игры в чистых стратегиях по критерию Гермейера относительно выигрышей является

Так же ценой игры в чистых стратегиях по критерию Гермейера относительно

Пример:

Найти оптимальную стратегию по критерию Гермейера относительно выигрышей при вероятностях состояний

Решение:

Строим матрицу Гермейера с элементами aij qj

G1 = min (4; 4,5;

6.2. Критерий Ходжа-Лемана

Критерий Ходжа-Лемана относительно выигрышей

Критерий Ходжа-Лемана относительно выигрышей опирается

При определении оптимальной стратегии по этому критерию вводится параметр (λ)

Показателем эффективности чистой стратегии Аi по критерию Ходжа-Лемана относительно выигрышей (HL)

где
Bi(q) – показатель эффективности стратегии Аi по критерию Байеса относительно

При любом показателе доверия игрока А распределению вероятностей q = (q1,

Ценой игры в чистых стратегиях по критерию Ходжа-Лемана относительно выигрышей является

Критерий Ходжа-Лемана применим в следующих случаях:
имеется информация о вероятностях состояний окружающей

Пример:

Найти оптимальную стратегию по критерию Ходжа-Лемана относительно выигрышей при λ =

Решение:
Вычислим средние выигрыши по критерию Байеса
По критерию Вальда (Wi)
W1 = 10;

Критерий Ходжа-Лемана относительно рисков

Критерий Ходжа-Лемана относительно рисков опирается одновременно на критерий

Показателем неэффективности чистой стратегии Аi по критерию Ходжа-Лемана относительно рисков (HLr)

где
Bi(q) – показатель неэффективности стратегии Аi по критерию Байеса относительно рисков

Ценой игры в чистых стратегиях по критерию Ходжа-Лемана относительно рисков является

Критерии оптимальности чистых стратегий по критерию Ходжа-Лемана относительно выигрышей и относительно

Пример:

Найти оптимальную стратегию по критерию Ходжа-Лемана относительно рисков при λ =

Решение:
Построим матрицу рисков.

Найдем критерий Байеса относительно рисков

S1 = 5; S2 =

6.3. Критерий Гермейера-Гурвица

Критерий Гермейера-Гурвица относительно выигрышей

Данный критерий представляет собой критерий

Показателем эффективности чистой стратегии Аi по критерию Гермейера-Гурвица относительно выигрышей (GH)

где
Gi – показатель эффективности стратегии Аi по критерию Гермейера относительно выигрышей

Ценой игры в чистых стратегиях по критерию Гермейера-Гурвица относительно выигрышей является

Пример:

Найти оптимальную стратегию по критерию Гермейера-Гурвица относительно выигрышей при λ =

Строим матрицу Гермейера с элементами aij qj

Находим минимальный выигрыш игрока А

Найдем критерии Гермейера-Гурвица относительно выигрышей по каждой стратегии по формуле:
GHi