Интеграл. Определенный интеграл. Свойства. Примеры. Применение определенного интеграла для нахождения длин, площадей и объемов

, то и
Понятие первообразной функции. Теорема о первообразных.Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной f’( x) или дифференциала df= f’( x) dx функции f( x). В интегральном исчислении решается обратная задача. По заданной функции f( x ) требуется найти такую функцию F( x), что F’(х)= f( x) или dF( x)= F’( x) dx= f( x) dx.Таким образом, основной задачей интегрального исчисления является восстановление функции F( x) по известной производной (дифференциалу) этой функции. Интегральное исчисление имеет многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике. Оно дает общий метод нахождения площадей, объемов, центров тяжести и т. д..
Определение. Функция F( x), , называется первообразной для функции f( x) на множестве Х, если она дифференцируема для любого и F’( x)= f( x) или dF( x)= f( x) dx.
Теорема. Любая непрерывная на отрезке [ a; b] функция f( x) имеет на этом отрезке первообразную F(x

f( x) на множестве Х называется неопределенным интегралом и обозначается: - (1)В формуле (1) f( x) dx называется подынтегральным выражением, f( x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования, а С – постоянной интегрирования.Рассмотрим свойства неопределенного интеграла, вытекающие из его определения.1. Производная из неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: и .2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
3. Постоянный множитель а (а≠0) можно выносить за знак неопределенного интеграла:
Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:
5. Если F( x) – первообразная функции f( x), то:

V. VI.

Приведем таблицу основных неопределенных интегралов. (Отметим, что здесь, как и в дифференциальном исчислении, буква u может обозначать как независимую переменную ( u= x) , так и функцию от независимой переменной ( u= u( x)) .)1. ( n≠-1).2. (a >0, a≠1).3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. (a≠0).15.(a≠0).16. (|u| > |a|).17. (|u| < |a|).18. 19.

является табличным. Суть метода подстановки состоит в том, что в интеграле переменную х заменяют переменной t по формуле x=φ( t), откуда dx=φ’( t) dt.Теорема. Пусть функция x=φ( t) определена и дифференцируема на некотором множестве Т и пусть Х – множество значений этой функции, на котором определена функция f( x). Тогда если на множестве Х функция f( x) имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула: - (2)

Метод интегрирования по частям следует из формулы дифференциала произведения двух функций. Пусть u( x) и v( x) – две дифференцируемые функции переменной х . Тогда:d(uv)=udv+vdu. – (3)Интегрируя обе части равенства (3), получаем:Но так как , то:

формулы отыскание интеграла . Применять ее целесообразно, когда интеграл в правой части формулы (4) более прост для вычисления, нежели исходный.В формуле (4) отсутствует произвольная постоянная С , так как в правой части этой формулы стоит неопределенный интеграл, содержащий произвольную постоянную.Приведем некоторые часто встречающиеся типы интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям.I. Интегралы вида , , ( Pn ( x) – многочлен степени n, k – некоторое число). Чтобы найти эти интегралы, достаточно положить u= Pn ( x) и применить формулу (4) n раз.II. Интегралы вида , , , , (Pn(x) – многочлен степени nотносительно х ). Их можно найти по частым, принимая за u функцию, являющуюся множителем при Pn ( x).III. Интегралы вида , (a, b – числа). Они вычисляются двукратным