Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

Сентябрь 13, 2022

Главная
Математика
Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

Содержание

2. Элементы интегрального исчисления 1.Первообразная и неопределенный интеграл 2.Основные приемы вычисления неопределенных интегралов 3.Интегрирование функций, содержащих квадратный
3. Первообразная и неопределенный интеграл
4. Первообразная и неопределенный интеграл
5. Неопределенный интеграл Определение 1. Функция называется первообразной для в , если определена в и Пример.
6. Неопределенный интеграл Теорема (о разности первообразных). Доказательство. Обозначим через Пусть Функция удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа: а)
7. Неопределенный интеграл Следствие. Пусть первообразная для в . Тогда любая другая первообразная Определение 2. Неопределенным интегралом
8. Свойства интеграла, вытекающие из определения Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал- подынтегральному выражению.
9. Свойства интеграла, вытекающие из определения Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывно дифференцируемой функции равен самой этой функции
10. Свойства интеграла
11. Таблица неопределенных интегралов
12. Таблица неопределенных интегралов
13. Интегрирование по частям
14. Метод замены переменной
15. Задача о вычислении площади плоской фигуры Решим задачу о вычислении площади фигуры, ограниченной графиком функции ,
16. Задача о вычислении площади плоской фигуры
17. Задача о вычислении площади плоской фигуры
18. Определенный интеграл
19. Определенный интеграл
20. Определенный интеграл
21. Теорема о существовании определенного интеграла
22. Свойства определенного интеграла
23. Свойства определенного интеграла
24. Теорема о среднем Если функция непрерывна на то существует такая точка что
25. Вычисление определенного интеграла
26. Вычисление площадей Площадь фигуры в декартовых координатах.
27. Обыкновенные дифференциальные уравнения
28. Уравнение первого порядка Функциональное уравнение F(x,y,y′) = 0 или y′= f(x,y), связывающее между собой независимую переменную,
29. Общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется такая функция y
30. Уравнение Ф(x,y,C) =0, определяющее общее решение как неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка.
31. Постановка задачи Коши Задача отыскания решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию при , называется задачей
32. Уравнение с разделяющимися переменными Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделенными переменными.
33. Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно имеет вид: . Для решения
34. Однородные уравнения Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно привести к виду y′= или
35. Линейные уравнения 1-го порядка Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно содержит и в первой
36. Уравнение Бернулли Уравнением Бернулли называется уравнение 1-го порядка, имеющее вид , где и Его, как и
37. Основные понятия Уравнение 2-го порядка имеет вид Или Общим решением уравнения второго порядка называется такая функция
38. Задача Коши для уравнения 2-го порядка Если уравнение 2-го порядка разрешить относительно второй производной, то для
39. Теорема существования и единственности решения уравнения 2-го порядка Если в уравнении функция и ее частные производные
40. Уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка Простейшее уравнение 2-го порядка решают двукратным интегрированием. Уравнение , не
41. Линейные однородные уравнения Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение . Если все коэффициенты этого
42. Линейное однородное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами Уравнение называется характеристическим уравнением линейного уравнения . Оно
43. Вывод формул общего решения ЛОУ 2-го порядка Корни характеристического уравнения Случай 1. Если , то характеристическое
44. Случай 2. Если , то характеристическое уравнение имеет одинаковые корни . Частные решения ЛОУ выбираем так,
45. Случай 3. Если , то характеристическое уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня и , где и .
47. Скачать презентацию

Слайд 2

Элементы интегрального исчисления
1.Первообразная и неопределенный интеграл
2.Основные приемы вычисления неопределенных интегралов
3.Интегрирование

функций, содержащих квадратный трехчлен
4.Интегрирование дробно-рациональных функций
5.Интегрирование тригонометрических функций
6.Интегрирование некоторых иррациональностей

Слайд 3

Первообразная и неопределенный интеграл

Слайд 4

Первообразная и неопределенный интеграл

Слайд 5

Неопределенный интеграл
Определение 1.
Функция называется первообразной для в ,
если определена в и
Пример.

Слайд 6

Неопределенный интеграл
Теорема (о разности первообразных).
Доказательство.
Обозначим через
Пусть
Функция удовлетворяет
условиям теоремы Лагранжа:
а)
б)

Слайд 7

Неопределенный интеграл
Следствие.
Пусть первообразная для в .
Тогда любая другая первообразная
Определение 2.
Неопределенным интегралом

от
называется совокупность всех первообразных
Пример.

Графическая иллюстрация

Слайд 8

Свойства интеграла, вытекающие из определения
Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции,

а его дифференциал- подынтегральному выражению. Действительно:

Слайд 9

Свойства интеграла, вытекающие из определения
Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывно дифференцируемой

функции равен самой этой функции с точностью до постоянной:
3.
так как является первообразной для

Слайд 10

Свойства интеграла

Слайд 11

Таблица неопределенных интегралов

Слайд 12

Таблица неопределенных интегралов

Слайд 13

Интегрирование по частям

Слайд 14

Метод замены переменной

Слайд 15

Задача о вычислении площади плоской фигуры
Решим задачу о вычислении площади

фигуры, ограниченной графиком функции , отрезками прямых
, и осью Ox.Такую фигуру называют криволинейной трапецией

Слайд 16

Задача о вычислении площади плоской фигуры

Слайд 17

Задача о вычислении площади плоской фигуры

Слайд 18

Определенный интеграл

Слайд 19

Определенный интеграл

Слайд 20

Определенный интеграл

Слайд 21

Теорема о существовании определенного интеграла

Слайд 22

Свойства определенного интеграла

Слайд 23

Свойства определенного интеграла

Слайд 24

Теорема о среднем
Если функция непрерывна на то существует такая точка

что

Слайд 25

Вычисление определенного интеграла

Слайд 26

Вычисление площадей
Площадь фигуры в декартовых координатах.

Слайд 27

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Слайд 28

Уравнение первого порядка
Функциональное уравнение
F(x,y,y′) = 0 или y′=

f(x,y), связывающее между собой независимую переменную, искомую функцию y(x) и ее производную y′(x), называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Слайд 29

Общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка
Общим решением дифференциального уравнения первого

порядка называется такая функция y = ϕ(x,C), которая при любом значении параметра C является решением этого дифференциального уравнения.

Слайд 30

Уравнение Ф(x,y,C) =0, определяющее общее решение как неявную функцию, называется

общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка.

Слайд 31

Постановка задачи Коши
Задача отыскания решения дифференциального уравнения
,
удовлетворяющего начальному

условию
при , называется задачей Коши для уравнения 1-го порядка.

Слайд 32

Уравнение с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение
называется уравнением с разделенными переменными.

Слайд 33

Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если

оно имеет вид:
.
Для решения уравнения делят обе его части на произведение функций
,
а затем интегрируют.

Уравнение с разделяющимися переменными

Слайд 34

Однородные уравнения
Дифференциальное уравнение первого
порядка называется однородным, если его

можно привести к виду y′=
или к виду
где и – однородные функции одного порядка .

Слайд 35

Линейные уравнения 1-го порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если

оно содержит и в первой степени, т.е. имеет вид
.
Решают такое уравнение с помощью подстановки y=uv, где u и v-вспомогательные неизвестные функции, которые находят, подставляя в уравнение вспомогательные функции и на одну из функций налагают определенные условия.

Слайд 36

Уравнение Бернулли
Уравнением Бернулли называется уравнение 1-го порядка, имеющее вид
,

где и
Его, как и линейное уравнение решают с помощью подстановки

Слайд 37

Основные понятия
Уравнение 2-го порядка имеет вид
Или
Общим решением уравнения второго

порядка называется такая функция , которая при любых значениях параметров является решением этого уравнения.

Слайд 38

Задача Коши для уравнения 2-го порядка
Если уравнение 2-го порядка разрешить

относительно второй производной, то для такого уравнения имеет место задача: найти решение уравнения ,
удовлетворяющее начальным условиям:
и
Эту задачу называют задачей Коши для дифференциального уравнения 2-гопорядка.

Слайд 39

Теорема существования и единственности решения уравнения 2-го порядка
Если в уравнении

функция и ее частные производные по аргументам и непрерывны в некоторой области, содержащей точку ,
то существует и притом единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям
и .

Слайд 40

Уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка
Простейшее уравнение 2-го порядка

решают двукратным интегрированием.
Уравнение , не содержащее явно у, решают с помощью подстановки ,
Уравнение , не содержащее х, решают заменой
, .

Слайд 41

Линейные однородные уравнения
Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение

.
Если все коэффициенты этого уравнения постоянны, то уравнение называется уравнением с постоянными коэффициентами .

Слайд 42

Линейное однородное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами
Уравнение называется характеристическим

уравнением линейного уравнения .
Оно получается из ЛОУ заменой соотстветствующей порядку производной степенью k .

Слайд 43

Вывод формул общего решения ЛОУ 2-го порядка
Корни характеристического уравнения
Случай

1. Если , то
характеристическое уравнение имеет два
различных действительных корня
В этом случае общее решение имеет вид
.

Слайд 44

Случай 2. Если , то характеристическое уравнение имеет одинаковые

корни .
Частные решения ЛОУ выбираем так, чтобы они были линейно независимыми:
и .
Общее решение ЛОУ 2-го порядка будет иметь вид .

Слайд 45

Случай 3. Если , то
характеристическое уравнение имеет два

комплексно-сопряженных корня
и , где
и .
Общее решение ЛОУ 2-го порядка в действительной форме можно записать
в виде

Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

Содержание

Элементы интегрального исчисления1.Первообразная и неопределенный интеграл 2.Основные приемы вычисления неопределенных интегралов3.Интегрирование

Первообразная и неопределенный интеграл

Первообразная и неопределенный интеграл

Неопределенный интегралОпределение 1.Функция называется первообразной для в ,если определена в иПример.

Неопределенный интегралТеорема (о разности первообразных).Доказательство.Обозначим черезПустьФункция удовлетворяетусловиям теоремы Лагранжа:а)б)

Неопределенный интегралСледствие.Пусть первообразная для в .Тогда любая другая первообразнаяОпределение 2.Неопределенным интегралом

Свойства интеграла, вытекающие из определения Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции,

Свойства интеграла, вытекающие из определения Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывно дифференцируемой

Свойства интеграла

Таблица неопределенных интегралов

Таблица неопределенных интегралов

Интегрирование по частям

Метод замены переменной

Задача о вычислении площади плоской фигуры Решим задачу о вычислении площади

Задача о вычислении площади плоской фигуры

Задача о вычислении площади плоской фигуры

Определенный интеграл

Определенный интеграл

Определенный интеграл

Теорема о существовании определенного интеграла

Свойства определенного интеграла

Свойства определенного интеграла

Теорема о среднем Если функция непрерывна на то существует такая точка

Вычисление определенного интеграла

Вычисление площадей Площадь фигуры в декартовых координатах.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Уравнение первого порядка Функциональное уравнение F(x,y,y′) = 0 или y′=

Общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка Общим решением дифференциального уравнения первого

Уравнение Ф(x,y,C) =0, определяющее общее решение как неявную функцию, называется

Постановка задачи Коши Задача отыскания решения дифференциального уравнения ,удовлетворяющего начальному

Уравнение с разделяющимися переменными Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделенными переменными.

Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если

Однородные уравнения Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его

Линейные уравнения 1-го порядка Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если

Уравнение Бернулли Уравнением Бернулли называется уравнение 1-го порядка, имеющее вид ,

Основные понятия Уравнение 2-го порядка имеет видИли Общим решением уравнения второго

Задача Коши для уравнения 2-го порядка Если уравнение 2-го порядка разрешить

Теорема существования и единственности решения уравнения 2-го порядка Если в уравнении

Уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка Простейшее уравнение 2-го порядка

Линейные однородные уравнения Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение

Линейное однородное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами Уравнение называется характеристическим

Вывод формул общего решения ЛОУ 2-го порядка Корни характеристического уравнения Случай

Случай 2. Если , то характеристическое уравнение имеет одинаковые

Случай 3. Если , то характеристическое уравнение имеет два

Похожие презентации

Элементы интегрального исчисления
1.Первообразная и неопределенный интеграл
2.Основные приемы вычисления неопределенных интегралов
3.Интегрирование

Неопределенный интеграл
Определение 1.
Функция называется первообразной для в ,
если определена в и
Пример.

Неопределенный интеграл
Теорема (о разности первообразных).
Доказательство.
Обозначим через
Пусть
Функция удовлетворяет
условиям теоремы Лагранжа:
а)
б)

Неопределенный интеграл
Следствие.
Пусть первообразная для в .
Тогда любая другая первообразная
Определение 2.
Неопределенным интегралом

Свойства интеграла, вытекающие из определения
Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции,

Свойства интеграла, вытекающие из определения
Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывно дифференцируемой

Задача о вычислении площади плоской фигуры
Решим задачу о вычислении площади

Теорема о среднем
Если функция непрерывна на то существует такая точка

Вычисление площадей
Площадь фигуры в декартовых координатах.

Уравнение первого порядка
Функциональное уравнение
F(x,y,y′) = 0 или y′=

Общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка
Общим решением дифференциального уравнения первого

Постановка задачи Коши
Задача отыскания решения дифференциального уравнения
,
удовлетворяющего начальному

Уравнение с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение
называется уравнением с разделенными переменными.

Однородные уравнения
Дифференциальное уравнение первого
порядка называется однородным, если его

Линейные уравнения 1-го порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если

Уравнение Бернулли
Уравнением Бернулли называется уравнение 1-го порядка, имеющее вид
,

Основные понятия
Уравнение 2-го порядка имеет вид
Или
Общим решением уравнения второго

Задача Коши для уравнения 2-го порядка
Если уравнение 2-го порядка разрешить

Теорема существования и единственности решения уравнения 2-го порядка
Если в уравнении

Уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка
Простейшее уравнение 2-го порядка

Линейные однородные уравнения
Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение

Линейное однородное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами
Уравнение называется характеристическим

Вывод формул общего решения ЛОУ 2-го порядка
Корни характеристического уравнения
Случай

Случай 3. Если , то
характеристическое уравнение имеет два