Интервальные оценки. Проверка статистических гипотез. (повторение)

N(0,1). Тогда сумма квадратов этих величин распределена по закону χ2 («хи-квадрат») с n степенями свободы.

Распределение Стьюдента
Пусть Z независимая нормально распределенная случайная величина , N(0,1). V- независимая от Z случайная величина, которая распределена по закону χ2 с n степенями свободы. Тогда величина имеет распределение Стьюдента с n степенями свободы.
(Стьюдент псевдоним английского статистика В. Госсета)

Распределение Фишера- Снедекора
Пусть U и V независимые случайные величины, распределенные по закону χ2 со степенями свободы k1 и k2, то величина имеет распределение F Фишера- Снедекора со степенями свободы k1 и k2 .

случайной величины X, имеющей распределение B(n, p). Оценкой для p является относительная частота h=x/n . Если n>50, а nh>5 ,и n(1-h)>5 , то распределение случайной величины аппроксимируется нормальным
распределением N(0,1).Можно использовать следующие формулы для границ p1 и p2 доверительного интервала

раз. Найти 95% доверительный интервал для вероятности выигрыша. Сколько сеансов игры следует провести, чтобы с вероятностью 0.99 вероятность выигрыша отличалась от частоты не не более, чем на 0.01.

Решение

1)

2)

P=0.99; α=1-0.99=0.01

величины X, имеющей распределение Пуассона с параметром λ. Нижняя и верхняя границы λ1 и λ2 доверительного интервала для параметра λ определяются как корни уравнений

Распределение Пуассона удобно аппроксимировать распределением χ2 .
Такая аппроксимация приводит к следующим формулам вычисления доверительных границ для параметра λ:

с параметром λ. Найти 95% доверительный интервал для λ по следующим данным:
За время испытаний отказало 3 элемента в одном комплекте аппаратуры;
В четырех испытуемых комплектах отказал соответственно 1, 0, 2, 1 элемент.

Решение
1) Отказало 3 элемента; x=3; α/2=(1-0.95)=0.05/2=0.025;

для оценки параметра λ используют результаты n наблюдений независимых С.В.X1,X2,…,X n ,каждая из которых имеет распределение Пуассона с параметром λ, доверительные границы вычисляются для параметра nλ С.В.
Доверительный интервал для nλ имеет вид λ1 < nλ < λ2.
Доверительный интервал для λ : λ1 / n < λ < λ2 / n .

причем оценка дисперсии по 10 замерам составила 100 кв. мкм. Согласуется ли этот результат с утверждением:
«Дисперсия результатов измерений по предложенному методу не превосходит 50 кв. мкм?» Принять α=0,05.

Решение:
1) Гипотезы : H0: σ2= σ02;
альтернативная гипотеза : H1: σ2> σ02 .

α=0,05, χ1- α 2( n-1)= χ1- 0.05 2(10-1)= χ0.95 2(9)=16.9

3) Выборочное значение нормированной статистики критерия равно :

5) Статистическое решение: так как выборочное значение критерия при-надлежит критической области, гипотеза H0 отклоняется. Результат не согласуется с утверждением:
«Дисперсия результатов измерений по предложенному методу не превосходит 50 кв. мкм?»

одновременно фиксируются их показания. По результатам 10 измерений выборочные средние оказались равными 15.3 и 16.1 соответственно, а оценки для дисперсий - 0.2 и 0.15.
Используя односторонний и двусторонний критерии при α=0,1 проверить гипотезу о равенстве дисперсий и гипотезу о равенстве средних.

Решение:
1. Сначала проверим гипотезу о равенстве дисперсий. H0: σ12 =σ22

=σ22 принимается.

2. Проверим гипотезу о равенстве средних. Гипотеза H0 m1=m2

1) Двухсторонний критерий. Альтернативная гипотеза H1 σ12 ≠σ22

2) Односторонний критерий. Альтернативная гипотеза H1 σ12 >σ22

Гипотеза H0 σ12 =σ22 принимается.

отклоняется.