Использование нетрадиционных методов при подготовке к ЕГЭ по математике

Сентябрь 12, 2022

Главная
Математика
Использование нетрадиционных методов при подготовке к ЕГЭ по математике

Содержание

2. Принцип Kiss очень-очень быстро 2) очень мелкими цифрами, в уголке тетради В результате получается вот что:
3. 1. Перемножить числа во многих случаях можно и без «столбика», в строчку. Это намного быстрее. 2.
4. 3. Как быстро и без всяких столбиков возвести в квадрат двузначное число? Применяем формулы сокращенного умножения:
5. Числа, оканчивающиеся на 5 , в квадрат возводятся моментально. Допустим, надо найти квадрат числа А5 (
6. 5. Первый способ – разложение подкоренного выражения на множители Найдем Число 6561 делится на 3 (так
7. Есть и второй способ. Он удобен, если число, из которого надо извлечь корень, никак не получается
8. Проверим: Найдем Значит, первая цифра в ответе – пятерка В числе 2809 последняя цифра – девятка.
9. 6. Разложение дискриминанта на множители Или иногда дискриминант удается посчитать по известной формуле сокращенного умножения
10. Самое главное –вычисления должны быть максимально простыми. Есть известный принцип, применяемый в программировании и дизайне. По-английски
11. Формула Пика Когда вершины многоугольника расположены в узлах квадратной сетки, можно воспользоваться формулой Пика. Формула так
12. Получаем, S = 28 + 20/2 - 1 = 37 кв.ед.
13. S= 5+4/2 -1=6 S=7+8/2-1=10
14. Стереометрия В10 a) Если размер каждой стороны плоской фигуры увеличить (уменьшить) в N раз, то ее
15. Пример 1. Если сторону равностороннего треугольника увеличить в 3 раза, то его площадь увеличится в =
16. B10. Бильярдный шар весит 360 г. Сколько граммов будет весить шар вдвое меньшего радиуса, сделанного из
17. В10. Объем данного правильного тетраэдра равен 2 . Найдите объем правильного тетраэдра, ребро которого в 3
18. В10. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса
19. В10. Объем параллелепипеда равен 9 . Найдите объем треугольной пирамиды . Мы помним, что объем параллелепипеда
20. В 10.В цилиндрический сосуд налили 5000 см3 воды. Уровень жидкости оказался равным 40 см. В воду
21. По закону Архимеда объем детали равен объему вытесненной ею жидкости Объем вытесненной жидкости равен 15/45 исходного
22. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 2500 см3 воды и полностью в нее погрузили
23. В цилиндрический сосуд, в котором находится 14 литров воды, опущена деталь. При этом уровень жидкости в
24. Уровень жидкости поднялся в 1,1 раза – означает, что высота цилиндра увеличилась в 1,1 раза. Исходя
25. Метод Пирсона (квадрат Пирсона) Готовим раствор определенной концентрации. Имеется 2 раствора с более высокой и менее
26. Отношение массы 1-го раствора к массе 2-го раствора это отношение разности массовых долей растворённого вещ-ва в
27. При решении задач на растворы с разными концентрациями чаще всего применяют квадрат Пирсона. При расчётах записывают
28. В левом нижнем углу ставят меньший показатель крепости веществ (в). Строится квадрат, и проводятся его диагонали
29. 70-58=12 В ювелирную мастерскую поступило два сплава золота различной пробы: 58% и 95%. Сколько граммов сплава
30. Задача 1. Морская вода содержит 5% соли (по массе). Сколько пресной воды нужно добавить к 30
31. Задача 2. Из сосуда, доверху наполненного 97% раствором кислоты, отлили 2 литра жидкости и долили 2
32. Смешали 500 г 10%-го раствора соли и 400 г 55%-го раствора соли. Определите концентрацию соли в
33. Задача 1. Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого
35. Скачать презентацию

Слайд 2

Принцип Kiss
очень-очень быстро
2) очень мелкими цифрами, в уголке тетради В результате

получается вот что:

Слайд 3

1. Перемножить числа во многих случаях можно и без «столбика», в

строчку. Это намного быстрее.

2. Теперь – деление. Нелегко «в столбик» разделить 9450 на 2100 . Но вспомним, что знак деления и дробная черта – одно и то же. Запишем в виде дроби и сократим дробь:

Слайд 4

3. Как быстро и без всяких столбиков возвести в квадрат двузначное

число? Применяем формулы сокращенного умножения:

Слайд 5

Числа, оканчивающиеся на 5 , в квадрат возводятся моментально. Допустим, надо найти

квадрат числа А5 ( А— не обязательно цифра, любое натуральное число). Умножаем А на А+1 и к результату приписываем 25 . Всё!

Например, ( и приписали 25 )
( и приписали 25)
( и приписали 25)
Этот способ полезен не только для возведения в квадрат, но для извлечения квадратного корня из чисел, оканчивающихся на 25

Слайд 6

5. Первый способ – разложение подкоренного выражения на множители
Найдем
Число 6561

делится на 3 (так как сумма его цифр делится на 3 ). Разложим на множители:
Найдем,
Это число делится на 2 . На 3 оно тоже делится. Раскладываем на множители

Слайд 7

Есть и второй способ. Он удобен, если число, из которого надо

извлечь корень, никак не получается разложить на множители.

Например, Число под корнем – нечетное, оно не делится на 3 , не делится на 5, не делится на 7 …
Очевидно, что в квадрат возводили двузначное число, которое находится между числами 70 и 80 , поскольку
а число 5041 находится между ними. Первую цифру в ответе мы уже знаем, это 7.
Последняя цифра в числе равна 1. Поскольку
последняя цифра в ответе – либо 1, либо 9

Слайд 8

Проверим:
Найдем
Значит, первая цифра в ответе – пятерка
В числе 2809 последняя

цифра – девятка. , Значит, последняя цифра в ответе – либо 3 , либо 7.

Слайд 9

6. Разложение дискриминанта на множители
Или иногда дискриминант удается посчитать по известной

формуле сокращенного умножения

Слайд 10

Самое главное –вычисления должны быть максимально простыми. Есть известный принцип, применяемый

в программировании и дизайне. По-английски он звучит так: «Keep it simple, stupid!» и легко запоминается как KISS (делай просто и примитивно!)

Слайд 11

Формула Пика
Когда вершины многоугольника расположены в узлах квадратной сетки, можно воспользоваться

формулой Пика. Формула так названа в честь австрийского математика Пика, который открыл ее в 1899 году. S = В + Г/2 - 1, где S - площадь многоугольника; В - количество узлов сетки, лежащих внутри многоугольника (зеленые точки); Г - количество узлов сетки, лежащих на границе многоугольника (синие точки).

Слайд 12

Получаем, S = 28 + 20/2 - 1 = 37 кв.ед.

Слайд 13

S= 5+4/2 -1=6
S=7+8/2-1=10

Слайд 14

Стереометрия В10
a) Если размер каждой стороны плоской фигуры увеличить (уменьшить) в

N раз,
то ее площадь увеличится (уменьшится) в раз;
b) Если размер каждой стороны объемной фигуры увеличить (уменьшить) в N раз, то ее объем увеличится (уменьшится) в
раз.

Слайд 15

Пример 1.
Если сторону равностороннего треугольника увеличить в 3 раза,
то его площадь

увеличится в = 9 раз.
Пример 2.
Если сторону квадрата уменьшить в 2 раза, то его площадь уменьшится в =4 раза.
Пример 3.
Если радиус шара увеличить в 4 раза, то его объем увеличится в =64 раза.

Слайд 16

B10. Бильярдный шар весит 360 г. Сколько граммов будет весить шар

вдвое меньшего радиуса, сделанного из того же материала?
Поскольку радиус шара уменьшился в 2 раза, то его объем уменьшился в = 8 раз.
Следовательно, его масса также уменьшится в 8 раз, и станет равной 360:8 = 45 г.

Слайд 17

В10. Объем данного правильного тетраэдра равен 2 . Найдите объем правильного

тетраэдра, ребро которого в 3 раза больше ребра данного тетраэдра.
Поскольку ребро тетраэдра увеличилось в 3 раза, то его объем увеличится в = 27 раз
И станет равным 2*27=54.
Ответ: 54

Слайд 18

В10. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите

объем цилиндра, если объем конуса равен 16.
Объём конуса равен 1/3 Sh, а объем цилиндра Sh, где S – общая площадь основания, h – общая высота. Значит, объём цилиндра в 3 раза больше объёма конуса и равен 16*3=48

Слайд 19

В10. Объем параллелепипеда равен 9 . Найдите объем треугольной пирамиды .
Мы

помним, что объем параллелепипеда равен . А объем пирамиды равен . Иными словами, если у параллелепипеда и пирамиды одинаковые основания и одинаковые высоты, то объем пирамиды будет в три раза меньше, чем объем параллелепипеда. А у нашей пирамиды еще и площадь основания в два раза меньше. Значит, ее объем в шесть раз меньше объема параллелепипеда.
Ответ: 1,5 .

Слайд 20

В 10.В цилиндрический сосуд налили 5000 см3 воды. Уровень жидкости оказался равным

40 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 15 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см3.

Мы знаем, что объём цилиндра равна произведению площади основания на высоту:
Площадь основания:
Найдём полученный объём:
Теперь можем вычислить объём детали: 6875 – 5000 = 1875 см3

Слайд 21

По закону Архимеда объем детали равен объему вытесненной ею жидкости
Объем вытесненной

жидкости равен 15/45 исходного объема:
Ответ: 1875

Слайд 22

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 2500 см3 воды и

полностью в нее погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся с отметки 20 см до отметки 24 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см3.

Второй способ:
По закону Архимеда объем детали равен объему вытесненной ею жидкости. Объем вытесненной жидкости равен 4/20 исходного объема:
Ответ: 500

Слайд 23

В цилиндрический сосуд, в котором находится 14 литров воды, опущена деталь.

При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,1 раза. Чему равен объем детали? Ответ выразите в литрах.

Объём цилиндра равна произведению площади его основания на высоту:
Жидкость в сосуде имеет цилиндрическую объёмную форму.

Слайд 24

Уровень жидкости поднялся в 1,1 раза – означает, что высота цилиндра

увеличилась в 1,1 раза. Исходя из формулы объёма цилиндра понятно, что при увеличении высоты в 1,1 раза влечёт за собой увеличение объёма также в 1,1 раза (так как зависимость величин прямопропорциональная).
Это означает, что после погружения детали объём будет равен 14∙1,1 = 15,4 литра.
Таким образом, объём детали будет равен: 15,4 – 14 = 1.4 литра.
Ответ: 1,4

Слайд 25

Метод Пирсона (квадрат Пирсона)
Готовим раствор определенной концентрации. Имеется 2 раствора с

более высокой и менее высокой концентрацией, чем нужно.
Обозначим массу 1-го раствора m 1, а 2-го m 2, тогда при смешивании масса смеси будет равна сумме этих масс. Массовая доля растворённого вещества в 1-м растворе – ω 1, во 2-м – ω 2, а в их смеси – ω 3. Тогда общая масса растворённого вещества в смеси будет складываться из масс растворённого вещества в исходных растворах: m 1 ω 1 + m 2 ω 2 = ω 3(m 1 + m 2), m 1(ω 1 – ω 3) = m 2(ω 3 – ω 2)

Слайд 26

Отношение массы 1-го раствора к массе 2-го раствора это отношение разности

массовых долей растворённого вещ-ва в смеси и в 2-м растворе к разности величин в 1-м растворе и в смеси.

Слайд 27

При решении задач на растворы с разными концентрациями чаще всего применяют

квадрат Пирсона.
При расчётах записывают одну над другой массовые доли растворённого вещества в исходных растворах, справа между ними – его массовую долю в растворе, который нужно приготовить, и вычитают по диагонали из большего меньшее значение.
Разности их вычитаний показывают массовые доли для первого и второго растворов, необходимые для приготовления нужного раствора.

Слайд 28

В левом нижнем углу ставят меньший показатель крепости веществ (в).
Строится квадрат,

и проводятся его диагонали

В правом нижнем углу после вычитания из а с получают у.

В правом верхнем углу после вычитания из с в получают х.

На пересечении диагоналей ставят требуемый показатель крепости (с).

Мы получаем, что нам надо взять х частей с концентрацией а
и у частей с концентрацией в, и мы получим смесь с концентрацией с%.

В левом верхнем углу ставят больший показатель крепости веществ (а).

C-B=X

A-C=Y

Но эту задачу можно решить намного легче, используя квадрат Пирсона.

Слайд 29

70-58=12
В ювелирную мастерскую поступило два сплава золота различной пробы:
58% и

95%. Сколько граммов сплава с 95%-ным содержанием золота
нужно взять, чтобы получить 37г сплава с 70%-ным содержанием золота?

95-70=25

Пусть k- коэффициент пропорциональности.
12k+25K=37;
k=1.
Значит, мы должны взять 12 г золота с 70% концентрации.

Слайд 30

Задача 1. Морская вода содержит 5% соли (по массе). Сколько пресной

воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составила 1,5%?
Решение:

Слайд 31

Задача 2.
Из сосуда, доверху наполненного 97% раствором кислоты, отлили 2

литра жидкости и долили 2 литра 45% раствора этой же кислоты. После этого в сосуде получился 81% раствор кислоты. Сколько литров раствора вмещает сосуд?

81%

97%

45%

Слайд 32

Смешали 500 г 10%-го раствора соли и 400 г 55%-го раствора

соли. Определите концентрацию соли в смеси.

Слайд 33

Задача 1. Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же

количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Ответ: 17%.

Задача 2. Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Ответ: 21%.

Использование нетрадиционных методов при подготовке к ЕГЭ по математике

Содержание

Принцип Kissочень-очень быстро2) очень мелкими цифрами, в уголке тетради В результате

1. Перемножить числа во многих случаях можно и без «столбика», в

3. Как быстро и без всяких столбиков возвести в квадрат двузначное

Числа, оканчивающиеся на 5 , в квадрат возводятся моментально. Допустим, надо найти

5. Первый способ – разложение подкоренного выражения на множителиНайдем Число 6561

Есть и второй способ. Он удобен, если число, из которого надо

Проверим:Найдем Значит, первая цифра в ответе – пятеркаВ числе 2809 последняя

6. Разложение дискриминанта на множителиИли иногда дискриминант удается посчитать по известной