Задача.
Представить число 76 в виде суммы трех положительных чисел
так, чтобы сумма квадратов всех слагаемых была наименьшей, а отношение первого числа ко второму было равно 2:3.
Решение.
x>0 – коэффициент пропорциональности,
2x - первое слагаемое,
3x – второе слагаемое.
76-2x-3x=76-5x – третье слагаемое, 76-5x> 0, x<15,2.
Сумма квадратов этих трех чисел равна (2x)2+(3x)2+(76-5x)2 = 38x2-760x+76
Сумма квадратов трех чисел будет наименьшей при том значении x, при котором функция f(x)= 38x2-760x+76 на интервале(0;15,2) достигает своего наименьшего значения.
f '(x)=76x-760=76(x-10), f '(x)=0 при x=10.
Эта функция принимает наименьшее значение на промежутке (0;15,2) при x=10, т.к. эта точка является точкой минимума и единственной точкой экстремума функции f(x) на этом промежутке.