История чисел и системы счисления

система счисления
Развернутая запись числа
Алфавит позиционной системы счисления
Натуральный ряд чисел в позиционной системе счисления

предметы, изображать количество этих предметов определенным знаком (цифрой), либо формировать из этих знаков их комбинации (числа), нам необходимы системы счисления

Система счисления – это…

… способ записи чисел (1, 221, XIX, 10200)

и соответствующие этому способу правила действия над числами (1+1=2, 25-15=10, 2*2=4, 100/25=4)

камни и др.) человеку необходимо было их посчитать и записать их количество, например, для того, чтобы обмениваться находками с другими древними людьми. Для этого появилась необходимость в записи чисел. А как человек записывал числа раньше?
Количество предметов = количество каких-нибудь значков (насечек, черточек, точек)

=

Первый вычислительный инструмент – пальцы, поэтому также счет вели группами по 5 или по 10 предметов

=

Далее получили свое название десяток десятков (сотня), десяток сотен (тысяча) и т.д. Для удобства их стали обозначать цифрами

для обозначения глав, веков:

История чисел

На Руси вплоть до XVIII века использовалась система славянских цифр:
à = 1
В V веке в Индии получила свое рождение прородительница арабской системы счисления
В XII веке в Европе были переведены с арабского языка на латынь научные трактаты, из которых человек и узнал об «арабской системе счисления», которой мы и по сей день пользуемся: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Широкое распространение в науке и в обиходе арабские цифры получили только в XVI веке

времена существовало большое количество разнообразных систем счисления. Но можно ли среди всего этого разнообразия выделить основные группы систем счисления? Да, можно:

Системы счисления

Непозиционные
(например:
римская – X I V M,
славянская - Ã)

Позиционные
(например:
арабская – 1 2 3 4 5 6 7 8 9)

обозначающий конкретную цифру в записи числа, не зависит величина, которую он обозначает (не важна позиция знака, поэтому непозиционные). Ярким примером такой системы счисления является римская система счисления:

XXX=10+10+10=30
Не важно, на каком месте стоит знак X в записи числа, в любом случае он обозначает число 10

Цифры записываются слева направо в порядке убывания. Их значения складываются. Если слева стоит меньшая цифра, а справа – большая, то их значения вычитаются: IV=5-1=4

1000 + (-100) + 1000 + (-10) + 100 + 5 + 1 + 1

= 1997

того, на каком месте в записи числа стоит цифра, зависит та величина, которую она обозначает:
333 – 3 сотни, 3 десятка, 3 единицы, т.е.:

Например: в арабской десятичной системе счисления для записи чисел используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Всего таких цифр – 10, т.е 10 – основание арабской системы счисления. Поэтому ее и называют десятичной системой счисления.

чисел

Для записи чисел в позиционной системе с основанием n нужно иметь алфавит из n цифр. Обычно для этого при

используют n первых арабских

цифр, а при n>10 к десяти арабским цифрам добавляют латинские буквы.

Если число 56 записано в десятичной системе счисления, то записывают так: