Тригонометрическая система функций. Ряды Фурье. Разложение функций в ряд Фурье

План лекции

1. Ряды Фурье: основные понятия.
2. Ряды Фурье для четных и

Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке [-П,П] и разлагается в тригонометрический

Доказательство:

Для определения коэффициентов разложения будем использовать ортогональность системы тригонометрических функций.
Проинтегрируем

Для определения коэффициентов an и bn последовательно умножим обе части (1)

Для функции f(x), интегрируемой на отрезке
[-П,П] числа a0, an, bn

Для определения сходимости ряда Фурье вводится понятие периодического продолжения функции, заданной

Если ряд Фурье сходится к функции f(x) на
отрезке [-П,П], то

Теорема

Пусть функция y=f(x) непрерывна вместе со своей производной на отрезке

Ряд Фурье функции f(x) сходится на всей
числовой прямой, и в

В каждой точке разрыва функции х /
сумма ряда равна полусумме

На концах отрезка [-П,П]
сумма ряда равна

3

Для любой точки х, не принадлежащей
отрезку [-П,П] утверждения 1-3
справедливы для периодического

РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ЧЕТНЫХ И НЕЧЕТНЫХ ФУНКЦИЙ

Для четных и

Пусть функция f(x) определена и является нечетной на отрезке [-П,П]:

Найдем коэффициенты

В первом интеграле делаем замену:

Тогда

Таким образом, нечетная на отрезке
[-П,П] функция f(x) будет
разлагаться в ряд Фурье
следующим

Пусть функция f(x) определена и является четной на отрезке [-П,П]:

Найдем коэффициенты

В первом интеграле делаем замену:

Тогда

Таким образом, четная на отрезке
[-П,П] функция f(x) будет
разлагаться в ряд Фурье
следующим

ПРИМЕРЫ.

1

Разложить в ряд Фурье функцию

РЕШЕНИЕ.

Данная функция удовлетворяет всем условиям теоремы о разложении функции в

Интеграл берем по частям:

Тогда ряд Фурье для данной функции будет иметь вид:

2

Разложить в ряд Фурье функцию

РЕШЕНИЕ.

Данная функция удовлетворяет всем условиям теоремы о разложении функции в

При n=1, 2, 3…:

Интеграл берем по частям:

Оставшийся интеграл снова берем по частям:

Тогда ряд Фурье для данной функции будет иметь вид:

Задания на СРС
Преобразование Фурье Разложите в ряд элементарные функции [ 1,3].
Решение

Глоссарий