Содержание
- 2. После изучения темы студенты должны: Знать: алгебраическую, геометрическую и тригонометрическую формы комплексного числа. Уметь: производить над
- 3. План Историческая справка Основные понятия Геометрическое изображение Геометрическое изображение Геометрическое изображение комплексных чисел Формы записи комплексных
- 4. п.1 Историческая справка содержание Понятие комплексного числа возникло из практики и теории решения алгебраических уравнений. С
- 5. Лишь в XVIII веке многие задачи математического анализа, геометрии, механики требовали широкого применения операций над комплексными
- 6. п.2 Основные понятия Комплексным числом z называется выражение вида z=a+ib, где a и b – действительные
- 7. п.3 Геометрическое изображение комплексных чисел Всякое комплексное число z=x+iy можно изобразить точкой M(x;y) плоскости xOy такой,
- 8. Часто вместо точек на плоскости берут их радиус-векторы т.е. векторы, началом которых служит точка O(0;0), концом
- 9. п.4 Формы записи комплексных чисел Запись числа в виде z=x+iy называют алгебраической формой комплексного числа. Из
- 10. При переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить лишь главное значение аргумента комплексного
- 11. Решение. Комплексное число z=x+iy в тригонометрической форме имеет вид z=r(cosφ +isinφ), где 1) z1=1+i (число z1
- 12. Рассмотрим показательную функцию w=ez, где z=x+iy - комплексное число. Можно показать, что функция w может быть
- 13. Из этих двух уравнений получаем: Этими формулами пользуются для нахождения значений степеней тригонометрических функций через функции
- 14. п.5 Действия над комплексными числами 1) Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме а) Сложение
- 15. в) Умножение комплексных чисел Произведением комплексных чисел z1=x1+y1i и z2=x2+y2i называется комплексное число, определяемое равенством z=z1
- 16. г) Деление комплексных чисел Деление определяется как действие, обратное умножению. Частным двух комплексных чисел z1 и
- 17. На практике вместо полученной формулы используют следующий прием: умножают числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное
- 18. д) Возведение комплексного числа, заданного в алгебраической форме в n-ю степень Выпишем целые степени мнимой единицы:
- 19. При возведении комплексного числа a+bi во вторую и третью степень пользуются формулой для квадрата и куба
- 20. е) Извлечение квадратного корня из комплексного числа Квадратным корнем из комплексного числа называется такое комплексное число,
- 21. Пример 4. Извлечем квадратный корень из комплексного числа z=5+12i. Решение. Обозначим квадратный корень из числа z
- 22. 2) Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме Рассмотрим два комплексных числа z1 и z2
- 23. б) Частное двух комплексных чисел Пусть заданы комплексные числа z1 и z2 ≠ 0. Рассмотрим частное
- 24. Пример 5. Даны два комплексных числа Найдите Решение. 1) Используя формулу . получаем Следовательно, 2) Используя
- 25. в) Возведение комплексного числа, заданного в тригонометрической форме в n-ю степень Из операции умножения комплексных чисел
- 26. Заслуги Муавра: открыл (1707) формулу Муавра для возведения в степень (и извлечения корней) комплексных чисел, заданных
- 27. Пример 6. Найти формулы sin2ϕ и cos2ϕ. Решение. Рассмотрим некоторое комплексное число Тогда с одной стороны
- 28. г) Извлечение корня п-ой степени из комплексного числа Корнем п-ой степени из комплексного числа z называется
- 29. Таким образом, извлечение корня n-ой степени из комплексного числа z всегда возможно и дает n различных
- 30. Запишем все значения : при при при Ответ: содержание
- 31. Вопросы для самоконтроля 1. Сформулируйте определение комплексного числа. 2. Какое комплексное число называется чисто мнимым? 3.
- 33. Скачать презентацию