Криволинейный интеграл II рода. Математический анализ

интегралу II рода
Пусть под действием силы F̄ = {P(x,y,z); Q(x,y,z); R(x,y,z)} точка перемещается по кривой (ℓ) из точки L1 в точку L2 .
ЗАДАЧА: найти работу, которую совершает сила F̄.
1. Разобьем (ℓ) на n частей точками M0=L1, M1, …, Mn=L2.
2. Если (Δℓi) = (Mi–1Mi) – мала, то (Δℓi) можно считать отрезком, а F̄ – постоянной.
Тогда работа силы по перемещению точки из Mi–1 в Mi равна
Ai ≈ P(Ki) · Δxi + Q(Ki) · Δyi + R(Ki) · Δzi ,
где Ki – произвольная точка из (Δℓi),
Тогда

(L1L2) – простая (т.е. без кратных точек) спрям- ляемая (т.е. имеющая длину) кривая в пространстве Oxyz, и на кривой (ℓ) задана функция P(x,y,z).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
1. Разобьем кривую (ℓ) произвольным образом на n частей точками M0=L1, M1, …, Mn=L2 в направлении от L1 к L2.
2. Пусть Mi(xi; yi; zi). Обозначим Δxi = xi – xi–1 (т.е. проекцию ду- ги (Mi –1Mi) на ось Ox)
3. На каждой дуге (Mi–1Mi) выберем произвольную точку Ki(ξi;ηiζi) и вычислим произведение P(Ki) · Δxi .
Сумму

назовем интегральной суммой для функции P(x,y,z) по кривой (ℓ) по переменой x (соответствующей данному разбиению кривой (ℓ) и данному выбору точек Ki).

λ → 0 , если для любого ε >0 существует δ >0 такое, что для любого разбиения кривой (ℓ) у которого λ < δ , при любом выборе точек Ki выполняется неравенство
| In(Mi , Ki) – I | < ε .
Если существует предел интегральных сумм In(Mi , Ki) при λ → 0, то его называют криволинейным интегралом от функции P(x,y,z) по переменной x по кривой (ℓ).

где ΔMi–1Mi – длина дуги (Mi–1Mi)

Обозначают:

или

координатам).

свойствах интегралы существуют.

1. Криволинейный интеграл II рода зависит от направления движения по кривой. При изменении направления обхода кривой (L1L2) криволинейный интеграл II рода меняет знак, т.е.

2. Если кривая (ℓ) замкнута, то криволинейный интеграл II рода не зависит выбора начальной точки L1, а зависит от направления обхода кривой.

интеграл II рода по замкнутому контуру в положительном направлении обозначают:

Направление обхода замкнутой кривой, при котором область, лежащая «внутри» контура, остается слева по отношению к движущейся точке, называют положительным. Противоположное ему направление называют отрицательным.

В отрицательном направлении:

т.е.

3. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ криволинейного интеграла II рода.
Пусть F̄ = {P(x,y,z); Q(x,y,z); R(x,y,z)} – сила, под действием которой точка перемещается по кривой (ℓ) из L1 в L2 .
Работа, которую при этом совершает сила F̄ , будет равна

функций равен алгебраической сумме криволинейных интегралов II рода от этих функций, т.е.

6. Если кривая (L1L2) разбита точкой K на две части (L1K) и (KL2), то

(свойство аддитивности криволинейного интеграла II рода).

точек) кривая (ℓ)=(L1L2) задана параметрическими уравнениями:
x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t), (2)
где t∈[α;β] (или t∈[β;α]) (L1↔α , L2↔β) .

ТЕОРЕМА 1.
Если (ℓ) – гладкая кривая, заданная уравнениями (2) и функция P(x,y,z) непрерывна на (ℓ), то P(x,y,z) интегрируема по переменной x по кривой (ℓ) и справедливо равенство

Аналогичным образом вычисляются интегралы

плоскости xOy , заданная уравнением y = φ(x) (где x пробегает отрезок с концами a и b; L1(a; φ(a) , L2(b; φ(b) ),
2) функции P(x,y), Q(x,y) непрерывны на (ℓ),
то существует криволинейный интеграл II рода и справедливо равенство

ТЕОРЕМА 3 (достаточные условия существования криволиней- ного интеграла II рода).
Если (ℓ) – кусочно-гладкая спрямляемая кривая и функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) кусочно-непрерывны на (ℓ) , то существует интеграл

(σ) – замкнутая ограниченная область на плоскости xOy,
(ℓ) – граница (σ), кусочно гладкая,
– кусочно непрерыв- ны в области (σ)

Тогда существуют интегралы

и справедлива формула Грина:

Для того, чтобы криволинейный интеграл

не зависел от линии интегрирования, необходимо и достаточ- но, чтобы этот интеграл, взятый по любому замкнутому кон- туру (ℓ) был равен нулю.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

частными производными в некото- рой односвязной области D⊂Oxyz .
Следующие условия эквивалентны:

2) выполняются равенства
3) выражение Pdx + Qdy + Rdz является полным дифференци- алом некоторой функции u(x,y,z), т.е.
du = Pdx + Qdy + Rdz .

;
(ℓ) = (L1L2) – простая гладкая кривая (любая)
(ℓ): x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t), где t∈[α;β] (или t∈[β;α])
(L1↔α , L2↔β) .
Рассмотрим

Получили:

Таким образом, для криволинейного интеграла II рода от полного дифференциала справедлив аналог формулы Ньютона – Лейбница.

∀L(x,y) и ∀L0(x0,y0)

Рассмотрим интеграл, полагая (L0L) = (ℓ1) или (L0L) = (ℓ2) :

гладкая кривая, то справедлива формула

где cosα, cosβ, cosγ – направляющие косинусы вектора, каса- тельного к кривой (ℓ) .