Квадратичная функция

+ с, а ≠ 0.

R
2) множество значений: У =[0;+∞[
3) f(-х) = (-х)2 = х2 = f (х) ⇒ функция четная,
4) график - парабола,
ветви вверх,
вершина О(0; 0)
ось симметрии – Оу
5) возрастает на [0; +∞[,
убывает на ]-∞; 0].

Х = R
2) множество значений: У =[0;+∞[
3) f(-х) = а(-х)2 = ах2 = f (х) ⇒ функция четная,
4) график - парабола,
вершина О(0; 0),
ветви вверх,
ось симметрии – Оу
5) возрастает на [0; +∞[,
убывает на ]-∞; 0].

= ах2 + n = f (х) ⇒ функция четная,

Свойства функции:
а > 0
1) Область определения: Х = R

2) Множество значений: У=[n; +∞[

4) график - парабола,
ветви вверх,
вершина (0; n),
ось симметрии параболы - Оу

5) возрастает на [0; +∞[,
убывает на ]-∞; 0].

(х) ≠ -f(х) ⇒ функция ни четная, ни нечетная

Свойства функции:
а > 0
1) Область определения: Х = R

2) Множество значений: У=[0; +∞[

4) графиком функции является парабола,
ветви вверх,
вершина (m; 0),
ось симметрии – прямая х = m

5) возрастает на [m; +∞[,
убывает на ]-∞; m].

0 и а < 0
Самостоятельно

а > 0

квадратного трехчлена ах2 + bх + с выделить полный квадрат: у = а(х – m)2 + n:
ах2 + bх + с = а(х2 + х + ) = а(х2 + 2·х· +
- + ) = а
Обозначим - = m, - = n.
Получим у = ах2 + bх + с = а(х – m)2 + n.

функции у = ах2
4) выполнить перемещения вспомогательного графика в направлениях параллельных координатным осям:
а) параллельно оси Ох:
на m единиц вправо, если m > 0,
на |m| единиц влево, если m < 0;
б) параллельно оси Оу:
на n единиц вверх, если n > 0,
на |n| единиц вниз, если n < 0.

Найти (если возможно) абсциссы точек пересечения параболы с осью Ох:
это корни уравнения ах2 + bх + с = 0.
3) Найти ординату точки пересечения параболы с осью Оу: это у = у(0) = с.
4) Найти абсциссу точки, симметричной точке (0; с) относительно оси симметрии параболы:
это корень уравнения ах2 + bх + с = с.
5) Можно построить еще несколько точек искомого графика, выбрав несколько значений х и подсчитав соответствующие им значения у.

друг на друга двух линейных функций.

1) с = 0, d ≠ 0 ⇒ у =

линейная функция

2) а = d = 0, с ≠ 0 ⇒ у = (где k = ) –

обратная пропорциональность

= р ⇒ а = ср, b = dр ⇒
у = = р -

постоянная функция

Пример. Построить график функции у =

у =

График функции у = получается сдвигом
графика функции у = - на 5/2 единицы влево и на 2 единицы вверх.

значения у0 ∈ У существует единственное значение х0 ∈ Х, такое, что у0 = f(х0), то функция f(х) обратима, функция х = g(у), у ∈Y обратная функция для функции у = f(х), х ∈ Х.

у = f(х)

f(х) относительно х, беря лишь те решения, которые принадлежат множеству Х, и поменять местами х и у.

Если функция у = f(х) определена и возрастает (убывает) на промежутке Х, и областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная функция, которая определена и возрастает (убывает) на Y.

1-й и 3-й координатных четвертей)

функцию. Построить графики обеих функций.

Функция возрастает на всей числовой прямой, значит, у нее есть обратная функция

обратной функции, так как, одно и то же значение у может соответствовать разным значениям х: 32 = (-3)2 = 9.

3) у = х2, х ∈ R+

Функция возрастает на всей области определения, значит, у нее есть обратная функция

t ∈ Т, х ∈ Х

t → х = g(t) → у = f(х),

f(g(t))

Сложная функция у = f(g(t)) называется композицией функций у = f(х), х ∈ Х и
х = g(t), t ∈ Т.
От лат. соmроsitiо – составление

– 4,
у(х(t))= (3t – 4)2 + 1.

2) f(х) = х2 - 2х, g(х) = 4х +3
f(g(х)) = (4х + 3)2 – 2(4х + 3), g(f(х)) = 4(х2 – 2х) + 3

3) f(х) = ,
g(t) = - t2 – 1

композиция функций у = f[g(t)] не определена

х ≥ 0

g < 0

у = g [f (х)] =

- х -1