Содержание
- 2. Где у – искомая функция, p(x), g(x), f(x) – функции, непрерывные на некотором интервале (a,b). Если
- 3. Если разрешить это уравнение относительно второй производной, то оно будет являться частным случаем уравнения и будет
- 4. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДУ ВТОРОГО ПОРЯДКА Линейным однородным ДУ второго порядка называется уравнение вида 7 А
- 5. ТЕОРЕМА. Пусть функции у1(х) и у2(х) – решения уравнения (7). Тогда функция тоже будет решением этого
- 6. Доказательство: Найдем первую и вторую производные от этой функции: и подставим их в исходное уравнение (7):
- 7. (поскольку функции у1 (х) и у2 (х) – решения этого уравнения).
- 8. Ранее было введено понятие линейной зависимости векторов. По аналогии можно ввести понятие линейной зависимости функций. Функции
- 9. Линейно зависимые функции оказываются пропорциональными, т.е. Обратное утверждение тоже верно: если две функции пропорциональны на интервале
- 10. Введем для случая двух функций определитель Вронского
- 11. ТЕОРЕМА. Если функции у1 (х) и у2 (х) линейно зависимы на интервале (а,в), то определитель Вронского,
- 12. Доказательство: Пусть функции у1 (х) и у2 (х) линейно зависимы на интервале (а,в). Тогда они будут
- 13. Вторую часть теоремы докажем от противного: Пусть функции у1 (х) и у2 (х) линейно независимы на
- 14. ТЕОРЕМА. Пусть решения уравнения (7) у1(х) и у2(х) – линейно независимы на (а,в), тогда функция где
- 15. Доказательство: Функция является решением уравнения (7). Нужно показать, что она представляет собой общее решение, т.е. что
- 16. Составим из них начальные условия: Подставим в левую часть этих условий функцию Получим систему двух линейных
- 17. Определитель этой системы есть определитель Вронского. Поскольку у1 и у2 – линейно независимы, то и система
- 18. Подставляем эти решения в исходную функцию: Получили частное решение, удовлетворяющее произвольно выбранным начальным условиям. Следовательно, функция
- 19. ПРИМЕРЫ. Установить, будет ли функция 1 общим решением уравнения
- 20. Решение: По теореме это решение будет общим, если функции являются решением этого уравнения и будут линейно
- 21. Следовательно, данные функции являются решением этого уравнения. Проверим, будут ли они линейно независимыми. Вычислим определитель Вронского:
- 22. Следовательно, данные функции являются линейно независимыми. Таким образом, функция будет общим решением заданного уравнения.
- 23. Установить, будет ли функция 2 общим решением уравнения
- 24. Решение: По теореме это решение будет общим, если функции являются решением этого уравнения и будут линейно
- 25. Следовательно, данные функции являются решением этого уравнения. Проверим, будут ли они линейно независимыми. Вычислим определитель Вронского:
- 26. Следовательно, данные функции являются линейно независимыми. Таким образом, функция будет общим решением заданного уравнения.
- 27. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДУ ВТОРОГО ПОРЯДКА Линейным неоднородным ДУ второго порядка называется уравнение вида 8 Б
- 28. ТЕОРЕМА. Общее решение уравнения (8) состоит из суммы его частного решения и общего решения соответствующего ему
- 29. Доказательство: Пусть - общее решение соответствующего однородного уравнения (7), и пусть - какое-либо частное решение неоднородного
- 30. Сначала покажем, что функция является решением уравнения (8). Подставляем в уравнение (8):
- 31. = Учтем, что Тогда
- 32. =
- 33. Таким образом, функция является решением уравнения (8). Теперь нужно показать, что она является общим решением этого
- 34. Поскольку Подставляем в это уравнение:
- 35. Следовательно, эту разность можно записать в виде частного решения однородного уравнения (7):
- 36. Таким образом, любое решение уравнения (8) можно получить по формуле: путем подбора произвольных постоянных Это и
- 37. Таким образом, чтобы найти общее решение неоднородного уравнения (8) нужно найти общее решение соответствующего однородного уравнения
- 38. Для нахождения частного решения неоднородного уравнения используется метод вариации постоянных Пусть - общее решение однородного уравнения
- 39. Тогда Дифференцируем это равенство: Положим функции
- 40. такими, что выполняется равенство: Тогда Находим вторую производную:
- 41. Подставляем найденные производные в уравнение (8): Перегруппируем слагаемые с С1(х) и С2(х) :
- 42. Так как у1(х) и у2(х) – решения однородного уравнения (7), то выражения в скобках равны нулю,
- 43. Объединим его с равенством Получаем систему:
- 44. Определитель этой системы есть определитель Вронского. Поскольку у1(х) и у2(х) – линейно независимы, то и система
- 45. Интегрируем эти выражения, получим Подставляем их в выражение и получаем частное решение неоднородного уравнения.
- 46. ПРИМЕР. Найти общее решение уравнения
- 47. Решение: Рассмотрим однородное уравнение: Ранее было показано, что его общее решение Следовательно, частное решение неоднородного уравнения
- 48. Пусть Тогда Подставляем в уравнение:
- 49. Получаем:
- 50. Первое уравнение умножаем на 2 и вычтем его из второго: Теперь подставляем в первое уравнение:
- 51. Интегрируем эти выражения:
- 52. При интегрировании можно опустить произвольные постоянные т.к. мы ищем любое частное решение уравнения. Частное решение неоднородного
- 54. Скачать презентацию