Логарифмы и их свойства

Август 21, 2022

Главная
Математика
Логарифмы и их свойства

Содержание

2. Логарифмы были придуманы для ускорения и упрощения вычислений. Идея логарифма, т. е. идея выражать числа в
3. ПОВТОРЕНИЕ Показательная функция, показательные уравнения Устно: an Основание степени Показатель степени
4. ПОВТОРЕНИЕ Показательная функция, показательные уравнения и неравенства. Устно: an Основание степени Показатель степени х = 2
5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Логарифмом по основанию а от аргумента x называют степень, в которую нужно возвести а, чтобы
6. ВАЖНЫЕ ФАКТЫ: 1.Аргумент и основание логарифма всегда должны быть больше нуля. Это следует из определения степени
7. Определение логарифма числа Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в которую нужно возвести
8. ОСНОВНОЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ТОЖДЕСТВО Равенство справедливо при b > 0, a > 0, a ≠ 1 5
9. Основные формулы
10. Вычислить
11. Вычислить
12. Вычислить
13. Вычислить
14. Выполнить устно
15. Выполнить устно =18 =14 =8
16. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
17. ВЫЧИСЛИТЕ: ПРОВЕРКА:
18. Основные свойства логарифмов При любом a>0 (a≠1) и любых положительных x и y выполнены равенства: logₐ
19. Свойства логарифмов
20. Вычислить
21. Вычислить
22. Свойства логарифмов
23. Вычислить
24. Вычислить
25. Свойства логарифмов
26. Свойства логарифмов
27. Примеры
28. ВЫЧИСЛИТЕ: ПРОВЕРКА:
29. Проблема Обратите внимание - действия с логарифмами возможны только при одинаковых основаниях! А если основания разные!?
30. Переход к другому основанию Теорема Пусть дан логарифм loga b. Тогда для любого числа c такого,
31. Логарифмические уравнения
32. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Логарифмом по основанию а от аргумента x называют степень, в которую нужно возвести а, чтобы
33. Воспользуемся сначала свойством Теперь перейдем к основанию 2
37. Логарифмическим уравнением называют уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма Например: log2(x+6)=3 log3x=1-x Решить логарифмическое уравнение- это
38. Способы решения логарифмических уравнений На основании определения логарифма Логарифмом положительного числа b по положительному и отличному
39. Решить уравнение Log3(2x+1)=2 ОДЗ (ЗНАЮ!!!что существуют логарифмы только положительных чисел) 2x+1>0 2x+1=3² 2x=9-1 2x=8 x=4 Ответ
40. Простейшее логарифмическое уравнение Например:
41. Решить уравнения
42. №1. Решить уравнения
44. Решение уравнения под буквой в Согласно свойству: Назад
45. Решение уравнения под буквой г Назад
49. №1
50. №1
51. №2
52. №2
53. №3
54. №3
55. №4
56. №4
57. №5
58. №5
59. №6
60. №6
61. №7
62. №7
70. Скачать презентацию

Слайд 2

Логарифмы были придуманы для ускорения и упрощения вычислений.
Идея логарифма, т. е. идея

выражать числа в виде степени одного и того же основания, принадлежит Михаилу Штифелю. Но во времена Штифеля математика была не столь развита и идея логарифма не нашла своего развития.
Логарифмы были изобретены позже одновременно и независимо друг от друга шотландским учёным Джоном Непером(1550-1617) и швейцарцем Иобстом Бюрги(1552-1632).

В1614г. была опубликована работа Непера под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов»
Слово «логарифм» введено Непером, происходит от греческих слов logoz и ariumoz - оно означает буквально “числа отношений”.

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

Джон Непер

Слайд 3

ПОВТОРЕНИЕ
Показательная функция, показательные уравнения
Устно:

an
Основание степени
Показатель степени

Слайд 4

ПОВТОРЕНИЕ
Показательная функция, показательные уравнения и неравенства.
Устно:

an
Основание степени
Показатель степени
х = 2
х =

- 3

х = 0

х = - 1

Слайд 5

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Логарифмом по основанию а от аргумента x называют степень, в которую

нужно возвести а, чтобы получить х.

logax = b

Где:
а – основание логарифма;
х – аргумент (число или выражение под знаком логарифма);
b – значение логарифма.

Например:
log28 = 3
(логарифм по основанию 2 от числа 8 равен 3, поскольку 23 = 8 )

Слайд 6

ВАЖНЫЕ ФАКТЫ:
1.Аргумент и основание логарифма всегда должны быть больше нуля. Это следует из определения

степени с рациональным показателем, к которому сводится
определение логарифма.

2.Основание должно быть отличным от единицы, поскольку единица в любой степени все равно остается единицей.

loga x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

3.На число b (значение логарифма) никаких ограничений не накладывается.

Слайд 7

Определение логарифма числа
Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени,

в которую нужно возвести основание a, чтобы получить число b.

Формулу aˡ ͦ ᵍ ᵇ = b где a≠1, a>0, b>0 называют основным логарифмическим тождеством.

Слайд 8

ОСНОВНОЕ
ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ТОЖДЕСТВО
Равенство справедливо при b > 0, a > 0,

ВЫЧИСЛИТЕ:
ПРОВЕРКА:

Слайд 18

Основные свойства логарифмов
При любом a>0 (a≠1) и любых положительных x и

y выполнены равенства:
logₐ x*y=logₐ x + logₐ y
logₐ x/y= logₐ x - logₐ y
logₐ xᵖ=p*logₐ x
для любого действительного p.

Слайд 29

Проблема
Обратите внимание - действия с логарифмами возможны только при одинаковых

основаниях! А если основания разные!?

Слайд 30

Переход к другому основанию
Теорема
Пусть дан логарифм loga b. Тогда для любого

числа c такого, что c > 0 и c ≠ 1, верно равенство:
В частности, если положить c = b, получим:

Слайд 31

Логарифмические уравнения

Слайд 32

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Логарифмом по основанию а от аргумента x называют степень, в которую

нужно возвести а, чтобы получить х.

logax = b

Где:
а – основание логарифма;
х – аргумент (число или выражение под знаком логарифма);
b – значение логарифма.

Например:
log28 = 3
(логарифм по основанию 2 от числа 8 равен 3, поскольку 23 = 8 )

Слайд 33

Воспользуемся сначала свойством
Теперь перейдем к основанию 2

Слайд 34

Слайд 35

Слайд 36

Слайд 37

Логарифмическим уравнением называют уравнение, содержащее переменную под знаком
логарифма
Например: log2(x+6)=3 log3x=1-x
Решить

логарифмическое уравнение- это значит
найти все его корни или доказать , что их нет.

Надо помнить!!!!

Существуют логарифмы ТОЛЬКО положительных чисел

или

ПРОВЕРКА
ОДЗ(область допустимых значений)

Слайд 38

Способы решения логарифмических
уравнений
На основании определения логарифма
Логарифмом положительного числа b по

положительному и отличному от 1 основанию а называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.

Решить уравнение
loga x = b, a > 0; a = 1.
ОДЗ. Х>0
имеет единственное решение
х=ab
при любом b

Слайд 39

Решить уравнение
Log3(2x+1)=2
ОДЗ (ЗНАЮ!!!что существуют логарифмы только положительных чисел)
2x+1>0
2x+1=3²
2x=9-1
2x=8
x=4
Ответ : х=4

Или ПРОВЕРКА

Log3(2·4+1)=

Log39=2

Слайд 40

Простейшее логарифмическое уравнение
Например:

Слайд 41

Решить уравнения

Слайд 42

№1. Решить уравнения

Слайд 43

Слайд 44

Решение уравнения под буквой в
Согласно свойству:
Назад

Слайд 45

Решение уравнения под буквой г
Назад

Слайд 46

Слайд 47

Слайд 48

Слайд 49

№1

Слайд 50

№1

Слайд 51

№2

Слайд 52

№2

Слайд 53

№3

Слайд 54

№3

Слайд 55

№4

Слайд 56

№4

Слайд 57

№5

Слайд 58

№5

Слайд 59

№6

Слайд 60

№6

Слайд 61

№7

Слайд 62

№7

Слайд 63

Слайд 64

Слайд 65

Слайд 66

Слайд 67

Слайд 68

Логарифмы и их свойства

Содержание

Логарифмы были придуманы для ускорения и упрощения вычислений.Идея логарифма, т. е. идея

ПОВТОРЕНИЕПоказательная функция, показательные уравненияУстно: anОснование степениПоказатель степени

ПОВТОРЕНИЕПоказательная функция, показательные уравнения и неравенства.Устно: anОснование степениПоказатель степених = 2х =

ОПРЕДЕЛЕНИЕЛогарифмом по основанию а от аргумента x называют степень, в которую

ВАЖНЫЕ ФАКТЫ:1.Аргумент и основание логарифма всегда должны быть больше нуля. Это следует из определения

Определение логарифма числаЛогарифмом числа b по основанию a называется показатель степени,

ОСНОВНОЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ТОЖДЕСТВОРавенство справедливо при b > 0, a > 0,

Основные формулы

Вычислить

Вычислить

Вычислить

Вычислить

Выполнить устно

Выполнить устно=18=14=8

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

ВЫЧИСЛИТЕ:ПРОВЕРКА:

Основные свойства логарифмовПри любом a>0 (a≠1) и любых положительных x и

Свойства логарифмов

Вычислить

Вычислить

Свойства логарифмов

Вычислить

Вычислить

Свойства логарифмов

Свойства логарифмов

Примеры

ВЫЧИСЛИТЕ:ПРОВЕРКА:

Проблема Обратите внимание - действия с логарифмами возможны только при одинаковых

Переход к другому основаниюТеорема Пусть дан логарифм loga b. Тогда для любого

Логарифмические уравнения

ОПРЕДЕЛЕНИЕЛогарифмом по основанию а от аргумента x называют степень, в которую

Воспользуемся сначала свойствомТеперь перейдем к основанию 2

Логарифмическим уравнением называют уравнение, содержащее переменную под знаком логарифмаНапример: log2(x+6)=3 log3x=1-xРешить

Способы решения логарифмических уравненийНа основании определения логарифмаЛогарифмом положительного числа b по

Решить уравнениеLog3(2x+1)=2ОДЗ (ЗНАЮ!!!что существуют логарифмы только положительных чисел)2x+1>0 2x+1=3²2x=9-12x=8x=4Ответ : х=4

Простейшее логарифмическое уравнениеНапример:

Решить уравнения

№1. Решить уравнения

Решение уравнения под буквой вСогласно свойству:Назад

Решение уравнения под буквой гНазад

№1

№1

№2

№2

№3

№3

№4

№4

№5

№5

№6

№6

№7

№7

Похожие презентации

Логарифмы были придуманы для ускорения и упрощения вычислений.
Идея логарифма, т. е. идея

ПОВТОРЕНИЕ
Показательная функция, показательные уравнения
Устно:

an
Основание степени
Показатель степени

ПОВТОРЕНИЕ
Показательная функция, показательные уравнения и неравенства.
Устно:

an
Основание степени
Показатель степени
х = 2
х =

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Логарифмом по основанию а от аргумента x называют степень, в которую

ВАЖНЫЕ ФАКТЫ:
1.Аргумент и основание логарифма всегда должны быть больше нуля. Это следует из определения

Определение логарифма числа
Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени,

ОСНОВНОЕ
ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ТОЖДЕСТВО
Равенство справедливо при b > 0, a > 0,

Выполнить устно
=18
=14
=8

ВЫЧИСЛИТЕ:
ПРОВЕРКА:

Основные свойства логарифмов
При любом a>0 (a≠1) и любых положительных x и

ВЫЧИСЛИТЕ:
ПРОВЕРКА:

Проблема
Обратите внимание - действия с логарифмами возможны только при одинаковых

Переход к другому основанию
Теорема
Пусть дан логарифм loga b. Тогда для любого

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Логарифмом по основанию а от аргумента x называют степень, в которую

Воспользуемся сначала свойством
Теперь перейдем к основанию 2

Логарифмическим уравнением называют уравнение, содержащее переменную под знаком
логарифма
Например: log2(x+6)=3 log3x=1-x
Решить

Способы решения логарифмических
уравнений
На основании определения логарифма
Логарифмом положительного числа b по

Решить уравнение
Log3(2x+1)=2
ОДЗ (ЗНАЮ!!!что существуют логарифмы только положительных чисел)
2x+1>0
2x+1=3²
2x=9-1
2x=8
x=4
Ответ : х=4

Простейшее логарифмическое уравнение
Например:

Решение уравнения под буквой в
Согласно свойству:
Назад

Решение уравнения под буквой г
Назад