Математические основы компьютерной графики. Лекция 2

Август 11, 2022

Главная
Математика
Математические основы компьютерной графики. Лекция 2

Содержание

2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ ГРАФИКИ Скаляр – величина, каждое значение которой может быть выражено одним (действительным) числом.
3. ВЕКТОРНОЕ И АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО Векторное (линейное) пространство содержит объекты только двух типов: скаляры (действительные числа) и
4. АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО Результатом операции сложения точки и вектора является точка. Обратной ей является операция вычитания двух
5. Координатный метод каждая точка на экране (бумаге при печати на принтере) задается координатами; координаты используются для
6. Системы координат Наиболее востребованными в компьютерной графике являются декартовы системы координат, как способ удобного создания абстракций
7. Цилиндрические, сферические, проективные и различные другие координаты в пространстве обычно используются для моделирования специальных эффектов при
8. Системы координат При отображении пространственных объектов используют понятие мировых координат – трёхмерных декартовых координат пространства, в
9. Системы координат Экранная система координат связана с тем графическим устройством, где в заданной проекции на картинной
10. Системы координат
11. АФФИННАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ Аффинная система координат – система в n-мерном аффинном пространстве, определяемая совокупностью n линейно
12. Координаты точки в аффинной системе координат – это компоненты разложения радиус-вектора точки по координатным векторам. Число
13. АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Все изменения изображений можно выполнить с помощью базовых операций: поворот; масштабирование; отражение; перенос (смещение).
14. Предположим, что на плоскости введена декартова система координат (OXY). Тогда каждой точке М ставится в соответствие
15. 2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Переход от одной декартовой системы координат на плоскости к другой описывается следующими соотношениями:
16. 2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Сохраняется точка и изменяется координатная система – произвольная точка М остается той же,
17. 2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Изменяется точка, и сохраняется координатная система – формула задает отображение, переводящее произвольную точку
18. 2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ I. Поворот (вокруг начальной точки на угол ϕ) описывается формулами: X
19. 2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ II. Растяжение (сжатие) вдоль координатных осей:
20. 2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ III. Отражение относительно оси абсцисс задается при помощи формул:
21. 2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ IV. Перенос обеспечивают соотношения:
22. 2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Выбор этих частных случаев определяется двумя обстоятельствами: каждое из приведенных выше преобразований имеет
23. Для применения перечисленных выше преобразований в задачах КГ применяется их матричная запись: 2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
24. Преобразование переноса (IV) в матричном виде записать невозможно. Для простоты алгоритмизации любого преобразования необходимо иметь матричный
25. ОДНОРОДНЫЕ КООРДИНАТЫ Однородными координатами точки M(x,y) называется тройка одновременно не равных нулю чисел , если:
26. Точке М(x, y) ставится в соответствие точка М’(x, y, 1) в пространстве. Произвольная точка на прямой,
27. Считая h=1 выражение (*) можно переписать в виде: ОДНОРОДНЫЕ КООРДИНАТЫ
28. 2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ I. Матрица вращения (rotation):
29. II. Матрица масштабирования: 2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
30. 2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ III. Матрица отражения:
31. 2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ IV. Матрица переноса:
32. Visual Studio, С#
33. Visual Studio окно элементов Toolbox (Ctrl+Alt+X) Содержит список элементов управления, которые можно использовать на формах приложения.
34. Окно Solution Explorer Окно Solution Explorer позволяет просматривать состав проектов, входящих в решение, в виде иерархической
35. Окно Properties (F4) Предназначено для изменения свойств элементов управления создаваемого приложения
36. Рисуем линию
37. Рисуем линию Перед тем как рисовать линии и фигуры, отображать текст, выводить изображения и управлять ими
38. Работа с графикой Этап 1: Создание объекта Graphics. Ввызовите метод CreateGraphics формы или элемента управления, на
39. Рисуем линию
40. Рисуем линию
41. Рисуем линию
43. Скачать презентацию

Слайд 2

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ ГРАФИКИ
Скаляр – величина, каждое значение которой может быть

выражено одним (действительным) числом.
Вектор – это направленный отрезок прямой линии, характеризуемый только его длиной и направлением.

Слайд 3

ВЕКТОРНОЕ И АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО
Векторное (линейное) пространство содержит объекты только двух типов:

скаляры (действительные числа) и векторы.
Аффинное пространство – это расширение векторного пространства, в которое включен дополнительный тип объектов – точка.

Слайд 4

АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО
Результатом операции сложения точки и вектора является точка.
Обратной ей

является операция вычитания двух точек, результатом которой будет вектор.

Слайд 5

Координатный метод

каждая точка на экране (бумаге при печати на принтере) задается

координатами;
координаты используются для описания объектов, которые будут отображаться как пространственные;
при выполнении многих промежуточных действий отображения используют разные системы координат и преобразования из одной системы в другую.

Слайд 6

Системы координат
Наиболее востребованными в компьютерной графике являются декартовы системы координат, как

способ удобного создания абстракций реальных предметов окружающего мира.

Слайд 7

Цилиндрические, сферические, проективные и различные другие координаты в пространстве обычно используются

для моделирования специальных эффектов при деформации объектов.

Системы координат

Слайд 8

Системы координат
При отображении пространственных объектов используют понятие мировых координат – трёхмерных

декартовых координат пространства, в котором размещаются объекты.
Каждый из объектов имеет собственную объектную систему координат.

Слайд 9

Системы координат
Экранная система координат связана с тем графическим устройством, где в

заданной проекции на картинной плоскости отображается создаваемая трёхмерная сцена.

Слайд 10

Системы координат

Слайд 11

АФФИННАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ
Аффинная система координат – система в n-мерном аффинном пространстве,

определяемая совокупностью n линейно независимых векторов, исходящих из начала координат.

Слайд 12

Координаты точки в аффинной системе координат – это компоненты разложения радиус-вектора

точки по координатным векторам.
Число независимых координат, которые определяют ее положение, задает размерность пространства.

АФФИННАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ

Слайд 13

АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Все изменения изображений можно выполнить с помощью базовых операций:
поворот;
масштабирование;
отражение;
перенос

(смещение).

Слайд 14

Предположим, что на плоскости введена декартова система координат (OXY).
Тогда каждой

точке М ставится в соответствие упорядоченная пара чисел (x,y) ее координат.
Вводя на плоскость еще одну декартову систему координат (O’X’Y’), ставим в соответствие той же точке М другую пару чисел (x’,y’).

2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Слайд 15

2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Переход от одной декартовой системы координат на плоскости к

другой описывается следующими соотношениями:

где α,β,γ,λ - произвольные числа, но

(*)

Слайд 16

2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Сохраняется точка и изменяется координатная система – произвольная точка

М остается той же, изменяются лишь ее координаты.

Слайд 17

2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Изменяется точка, и сохраняется координатная система – формула задает

отображение, переводящее произвольную точку М(x,y) в точку M(x’,y’), координаты которой определены в той же координатной системе.

В дальнейшем будем рассматривать второй случай преобразования, соответствующий рис. б.

Слайд 18

2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
I. Поворот (вокруг начальной точки на угол ϕ) описывается

формулами:

Слайд 19

2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
II. Растяжение (сжатие) вдоль координатных осей:

Слайд 20

2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
III. Отражение относительно оси абсцисс задается при помощи формул:

Слайд 21

2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
IV. Перенос обеспечивают соотношения:

Слайд 22

2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Выбор этих частных случаев определяется двумя обстоятельствами:
каждое из приведенных

выше преобразований имеет простой и наглядный геометрический смысл;
как доказывается в курсе аналитической геометрии, любое преобразование всегда можно представить как последовательное исполнение (суперпозицию) простейших преобразований I-IV.

Слайд 23

Для применения перечисленных выше преобразований в задачах КГ применяется их матричная

запись:

2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Слайд 24

Преобразование переноса (IV) в матричном виде записать невозможно.
Для простоты алгоритмизации

любого преобразования необходимо иметь матричный вид записи всех четырех преобразований .

2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Слайд 25

ОДНОРОДНЫЕ КООРДИНАТЫ
Однородными координатами точки M(x,y) называется тройка одновременно не равных нулю

чисел , если:

Слайд 26

Точке М(x, y) ставится в соответствие точка М’(x, y, 1) в

пространстве.
Произвольная точка на прямой, соединяющей начало координат, точку О(0,0,0), с точкой М’(x, y, 1), может быть задана тройкой (hx, hy, h). Исключая точку О из рассмотрения, будем считать, что h≠0.

ОДНОРОДНЫЕ КООРДИНАТЫ

Слайд 27

Считая h=1 выражение (*) можно переписать в виде:
ОДНОРОДНЫЕ КООРДИНАТЫ

Слайд 28

2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
I. Матрица вращения (rotation):

Слайд 29

II. Матрица масштабирования:
2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Слайд 30

2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
III. Матрица отражения:

Слайд 31

2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
IV. Матрица переноса:

Слайд 32

Visual Studio, С#

Слайд 33

Visual Studio окно элементов Toolbox (Ctrl+Alt+X)
Содержит список элементов управления, которые можно использовать

на формах приложения.
Мы будем использовать:

Слайд 34

Окно Solution Explorer
Окно Solution Explorer позволяет просматривать состав проектов, входящих в

решение, в виде иерархической структуры, а также связи между проектами и их компонентами.
Компонентами проектов могут быть формы, классы, модули, а также другие файлы, которые требуются для создания приложения.

Слайд 35

Окно Properties (F4)
Предназначено для изменения свойств элементов управления создаваемого приложения

Слайд 36

Рисуем линию

Слайд 37

Рисуем линию
Перед тем как рисовать линии и фигуры, отображать текст, выводить

изображения и управлять ими в GDI+ необходимо создать объект Graphics.
Объект Graphics представляет поверхность рисования GDI+ и используется для создания графических изображений.

Слайд 38

Работа с графикой
Этап 1: Создание объекта Graphics. Ввызовите метод CreateGraphics формы

или элемента управления, на котором необходимо отобразить графику:
Graphics g = this.CreateGraphics();
Этап 2. Использование объекта Graphics для рисования линий и фигур, отображения текста или изображения и управления ими. После создания объекта Graphics его можно использовать для рисования линий и фигур, отображения текста или изображения и управления ими. Основные объекты, используемые с объектом Graphics:
Класс Pen — служит для рисования линий, контуров и отрисовки других геометрических объектов.
Класс Brush — служит для заливки областей, например фигур, изображений или текста.

Слайд 39

Рисуем линию

Слайд 40

Рисуем линию

Слайд 41

Математические основы компьютерной графики. Лекция 2

Содержание

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ ГРАФИКИСкаляр – величина, каждое значение которой может быть

ВЕКТОРНОЕ И АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВОВекторное (линейное) пространство содержит объекты только двух типов:

АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВОРезультатом операции сложения точки и вектора является точка. Обратной ей

Координатный метод каждая точка на экране (бумаге при печати на принтере) задается

Системы координатНаиболее востребованными в компьютерной графике являются декартовы системы координат, как

Цилиндрические, сферические, проективные и различные другие координаты в пространстве обычно используются

Системы координатПри отображении пространственных объектов используют понятие мировых координат – трёхмерных

Системы координатЭкранная система координат связана с тем графическим устройством, где в

Системы координат

АФФИННАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТАффинная система координат – система в n-мерном аффинном пространстве,

Координаты точки в аффинной системе координат – это компоненты разложения радиус-вектора

АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯВсе изменения изображений можно выполнить с помощью базовых операций: поворот;масштабирование;отражение;перенос

Предположим, что на плоскости введена декартова система координат (OXY). Тогда каждой

2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯПереход от одной декартовой системы координат на плоскости к

2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯСохраняется точка и изменяется координатная система – произвольная точка

2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯИзменяется точка, и сохраняется координатная система – формула задает

2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯI. Поворот (вокруг начальной точки на угол ϕ) описывается

2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯII. Растяжение (сжатие) вдоль координатных осей:

2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯIII. Отражение относительно оси абсцисс задается при помощи формул:

2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯIV. Перенос обеспечивают соотношения:

2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯВыбор этих частных случаев определяется двумя обстоятельствами:каждое из приведенных

Для применения перечисленных выше преобразований в задачах КГ применяется их матричная

Преобразование переноса (IV) в матричном виде записать невозможно. Для простоты алгоритмизации

ОДНОРОДНЫЕ КООРДИНАТЫОднородными координатами точки M(x,y) называется тройка одновременно не равных нулю

Точке М(x, y) ставится в соответствие точка М’(x, y, 1) в

Считая h=1 выражение (*) можно переписать в виде:ОДНОРОДНЫЕ КООРДИНАТЫ

2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯI. Матрица вращения (rotation):

II. Матрица масштабирования:2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ III. Матрица отражения:

2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯIV. Матрица переноса:

Visual Studio, С#

Visual Studio окно элементов Toolbox (Ctrl+Alt+X) Содержит список элементов управления, которые можно использовать

Окно Solution ExplorerОкно Solution Explorer позволяет просматривать состав проектов, входящих в

Окно Properties (F4)Предназначено для изменения свойств элементов управления создаваемого приложения

Рисуем линию

Рисуем линиюПеред тем как рисовать линии и фигуры, отображать текст, выводить

Работа с графикойЭтап 1: Создание объекта Graphics. Ввызовите метод CreateGraphics формы

Рисуем линию

Рисуем линию

Рисуем линию

Похожие презентации

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ ГРАФИКИ
Скаляр – величина, каждое значение которой может быть

ВЕКТОРНОЕ И АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО
Векторное (линейное) пространство содержит объекты только двух типов:

АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО
Результатом операции сложения точки и вектора является точка.
Обратной ей

Координатный метод

каждая точка на экране (бумаге при печати на принтере) задается

Системы координат
Наиболее востребованными в компьютерной графике являются декартовы системы координат, как

Системы координат
При отображении пространственных объектов используют понятие мировых координат – трёхмерных

Системы координат
Экранная система координат связана с тем графическим устройством, где в

АФФИННАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ
Аффинная система координат – система в n-мерном аффинном пространстве,

АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Все изменения изображений можно выполнить с помощью базовых операций:
поворот;
масштабирование;
отражение;
перенос

Предположим, что на плоскости введена декартова система координат (OXY).
Тогда каждой

2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Переход от одной декартовой системы координат на плоскости к

2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Сохраняется точка и изменяется координатная система – произвольная точка

2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Изменяется точка, и сохраняется координатная система – формула задает

2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
I. Поворот (вокруг начальной точки на угол ϕ) описывается

2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
II. Растяжение (сжатие) вдоль координатных осей:

2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
III. Отражение относительно оси абсцисс задается при помощи формул:

2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
IV. Перенос обеспечивают соотношения:

2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Выбор этих частных случаев определяется двумя обстоятельствами:
каждое из приведенных

Преобразование переноса (IV) в матричном виде записать невозможно.
Для простоты алгоритмизации

ОДНОРОДНЫЕ КООРДИНАТЫ
Однородными координатами точки M(x,y) называется тройка одновременно не равных нулю

Считая h=1 выражение (*) можно переписать в виде:
ОДНОРОДНЫЕ КООРДИНАТЫ

2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
I. Матрица вращения (rotation):

II. Матрица масштабирования:
2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
III. Матрица отражения:

2D АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
IV. Матрица переноса:

Visual Studio окно элементов Toolbox (Ctrl+Alt+X)
Содержит список элементов управления, которые можно использовать

Окно Solution Explorer
Окно Solution Explorer позволяет просматривать состав проектов, входящих в

Окно Properties (F4)
Предназначено для изменения свойств элементов управления создаваемого приложения

Рисуем линию
Перед тем как рисовать линии и фигуры, отображать текст, выводить

Работа с графикой
Этап 1: Создание объекта Graphics. Ввызовите метод CreateGraphics формы