Математический анализ

Бронштейн Ефим Михайлович
Кафедра вычислительной математики и кибернетики
каб. 6-414а
E-mail: bro-efim@yandex.ru

Литература

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Т.1-2.
2. Фихтенгольц

НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ

∀, ∃, ⇒
∈, ∉, ∅,∩,∪, ⊂, ⊃
{x:R(x)}
Необходимо

ЗАГАДКА
Продолжите последовательность
О,Д,Т,Ч,П,Ш,…

ЧИСЛА

Натуральные (N)
Принцип математической индукции
Утверждение R(n) для натуральных чисел.
- R(1) истинно
- R(n)

Примеры
- 1+2+…+n=n(n+1)/2
- При x≥0 справедливо неравенство Бернулли
(1+x)n≥1+nx

Целые (Z)
Можно вычитать
Рациональные (Q)
можно делить (не на 0!) p/q
Не существует рационального

Вещественные (R)
±a0,a1a2…an…
1,000…00..
0,999…999…
Арифметические операции, сравнение
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Множество X ограничено сверху, если ∃M

Пусть множество X ограничено сверху
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Число M называется верхней гранью

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Точной верхней гранью ограниченного сверху множества X называется минимальная

Иначе:
1.∀x ∈X (x≤sup X)
2. ∀ε>0 ∃x ∈X (x≥sup X−ε)
Максимальный элемент множества

ТЕОРЕМА 1 (О точных гранях)
У всякого ограниченного сверху множества ВЕЩЕСТВЕННЫХ

НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ МНОЖЕСТВ

(a,b) иное обозначение ]a,b[ - интервал
[a,b] – отрезок, (a,b]

ТЕОРЕМА 2. Принцип вложенных отрезков. (Следствие из теоремы о точных гранях)
Пусть

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ ПРЕДЕЛЫ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Пусть каждому натуральному числу ставится в

Арифметические операции над последовательностями {хn}, {yn}:
{хn+yn}, {хn-yn}, {хnyn}, {хn /yn} (при

Примеры:
1) Последовательность —1, —4, —9, ... , —п2, ... Ограничена сверху и

Бесконечно большие (ББ) последовательности

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Последовательность {хn} называется бесконечно большой, если

ПРИМЕРЫ
Если хn=n, то хn→+∞ (N=⎡M⎤)
Если хn=−n, то хn→−∞
Если хn=n(−1)n, то

БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ (БМ) ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Последовательность {αп} называется бесконечно малой, если

ПРИМЕРЫ (ВАЖНЫЕ)

1. Последовательность q, q2, q3, ... , qn, ...

СВОЙСТВА БМП

Сумма (разность) двух БМП есть БМП.
Алгебраическая сумма любого конечного

СХОДЯЩИЕСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Последовательность {хп} называется сходящейся, если существует число a

Иначе:
∃a∀ε>0 ∃N ∀n>N |хn-a|<ε
хn располагается в ε-окрестности числа (точки)

ПРИМЕР: n/(n+1)→1
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ МОЖЕТ НЕ ИМЕТЬ ПРЕДЕЛА. Пример {(-1)n}

СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Сходящаяся последовательность имеет
единственный предел.
2. Сходящаяся последовательность ограничена. (Обратное

Лемма. Если последовательность {уп} сходится и имеет отличный от нуля

ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД В НЕРАВЕНСТВАХ

ТЕОРЕМА 3. Если последовательность {хп} сходится и начиная

Следствие 2. Если элементы сходящихся последовательностей {хп} и {уп} начиная с

ТЕОРЕМА 4. Пусть {хп} и {zn} — сходящиеся последовательности, имеющие общий

МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Последовательность {хп} называется неубывающей (невозрастающей), если каждый последующий

1. Последовательность 1, 1, 1/2, 1/2, ... , 1/п, 1/п, ... невозрастающая.

ТЕОРЕМА 5. Неубывающая (невозрастающая) последовательность {хп}, ограниченная сверху (снизу), сходится.
Замечание 1.

ПРИМЕР.
X1=1, Xn+1=2Xn+1

ТЕОРЕМА 6. Последовательность
сходится.
К доказательству. Последовательность
убывающая.
Предел последовательности из теоремы 6 обозначается e.

Подпоследовательность.
ТЕОРЕМА 7.(Больцано-Вейерштрасса).
Из любой ограниченной последовательности можно выделить
сходящуюся подпоследовательность.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Последовательность {хп} называется фундаментальной, если для
∀ε>0 ∃N ∀n>N