Первообразная. Неопределенный интеграл

Июль 29, 2022

Главная
Математика
Первообразная. Неопределенный интеграл

Содержание

2. Основные вопросы: Определение первообразной. Основное свойство первообразной. Понятие неопределенного интеграла. Основные формулы интегрирования. Непосредственное интегрирование (метод
3. Определение первообразной. Основное свойство первообразной. Первообразной функцией по отношению к данной функции у = f(x) называется
4. Понятие неопределенного интеграла. Основные формулы интегрирования Совокупность всех первообразных F(x) + С для данной функции у
5. Геометрический смысл неопределенного интеграла. Геометрически, неопределенный интеграл представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости, полученных путем
6. поскольку функция - первообразная для функции х4. Процесс нахождения неопределенного интеграла функции называется интегрированием этой функции.
7. Свойства неопределенного интеграла: 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции: Это свойство считается очень важным, его
8. 2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: Свойства неопределенного интеграла:
9. 3. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная: Свойства неопределенного интеграла:
10. 4.Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла: Свойства неопределенного интеграла:
11. 5.Неопределенный интеграл от суммы 2-х функций равен сумме неопределенных интегралов от этих функций: Свойства неопределенного интеграла:
12. Таблица основных интегралов
13. Таблица основных интегралов
14. Таблица основных интегралов
15. Таблица основных интегралов
16. Таблица основных интегралов
17. Основные методы интегрирования
18. 1.Непосредственное интегрирование
19. Непосредственное интегрирование – это метод, основанный на применении тождественных преобразований подынтегральной функции, а также основных свойств
20. Непосредственное интегрирование Наиболее часто используются следующие преобразования подынтегральной функции: Деление числителя на знаменатель почленно; Применение формул
22. Найти неопределенный интеграл методом непосредственного интегрирования. Используя свойство неопределенного интеграла, вынесем за знак интеграла постоянный множитель.
23. Решение:
25. Решение:
26. Решение:
28. 2. Метод подстановки
29. Замена переменной (метод подстановки) Чаще всего этот метод используется, если в подынтегральном выражении содержится сложная функция,
30. НАПРИМЕР Далее необходимо выполнить следующие действия: Найти дифференциал новой переменной ; Записать прежний интеграл, используя только
31. Найти Решение: введем подстановку u = 5x + 3 дифференциал этого выражения: d (5x + 3)
32. Заменив u его выражением через x, имеем: Проверка: Интеграл найден правильно.
33. Решение: Заменяя переменную в данном интеграле, имеем: Подставляя вместо t его выражение через x, найдем:
35. Найти неопределенный интеграл, используя метод замены переменной. Сделаем замену переменной t = sin x, тогда dt
36. Сделав обратную замену, получим окончательный ответ: Ответ:
37. Решение:
38. Решение:
39. 3. Интегрирование по частям
40. Метод интегрирования по частям – это метод, заключающийся в использовании формулы:
41. Данный метод интегрирования основан на тождестве: где u = f(x) и v = φ(x) - две
42. Решение:
43. Ответ:
44. Решение: Ответ:
45. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
46. Интегралы от произведений синусов и косинусов с разными аргументами, линейно зависящими от , упрощаются, если применить
47. Вычислим интеграл Преобразуем произведение в сумму: тогда
48. Домашнее задание: Колесов В.В. Математика для медицинских колледжей: учебное пособие/В.В.Колесов, М.Н. Романов. – Ростов н/Д: Феникс,
50. Скачать презентацию

Слайд 2

Основные вопросы:
Определение первообразной. Основное свойство первообразной.
Понятие неопределенного интеграла. Основные формулы

интегрирования.
Непосредственное интегрирование (метод разложения).
Этапы интегрирования функций методом подстановки (замены переменной).
Метод по частям.
Интегрирование некоторых тригонометрических функций

Слайд 3

Определение первообразной. Основное свойство первообразной.
Первообразной функцией по отношению к данной

функции у = f(x) называется такая функция F(x), производная от которой равна данной функции, т.е.

Для данной функции у = f(x) первообразных функций бесчисленное множество, т.к. любая из функций F(x) + С, также является первообразной для у = f(x).

Слайд 4

Понятие неопределенного интеграла. Основные формулы интегрирования
Совокупность всех первообразных
F(x) +

С для данной функции у = f(x) называется ее неопределенным интегралом обозначается символом:

где f(x)dx - называется подынтегральным выражением,
функция f(x) - подынтегральной функцией.

Слайд 5

Геометрический смысл неопределенного интеграла.
Геометрически, неопределенный интеграл представляет собой семейство

интегральных кривых на плоскости, полученных путем параллельного переноса графика функции у = F(x) вдоль оси ординат

Слайд 6

поскольку функция - первообразная для функции х4.
Процесс нахождения неопределенного интеграла

функции называется интегрированием этой функции.

Слайд 7

Свойства неопределенного интеграла:
1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
Это свойство считается

очень важным, его используют для проверки правильности вычисления интеграла.

Слайд 8

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
Свойства неопределенного интеграла:

Слайд 9

3. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная

постоянная:

Свойства неопределенного интеграла:

Слайд 10

4.Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:
Свойства неопределенного интеграла:

Слайд 11

5.Неопределенный интеграл от суммы 2-х функций равен сумме неопределенных интегралов от

этих функций:

Свойства неопределенного интеграла:

Слайд 12

Таблица основных интегралов

Слайд 13

Таблица основных интегралов

Слайд 14

Таблица основных интегралов

Слайд 15

Таблица основных интегралов

Слайд 16

Таблица основных интегралов

Слайд 17

Основные методы интегрирования

Слайд 18

1.Непосредственное интегрирование

Слайд 19

Непосредственное интегрирование
– это метод, основанный на применении тождественных преобразований подынтегральной функции,

а также основных свойств неопределенного интеграла и табличных интегралов.

Слайд 20

Непосредственное интегрирование
Наиболее часто используются следующие преобразования подынтегральной функции:
Деление числителя на

знаменатель почленно;
Применение формул сокращенного умножения;
Применение тригонометрических тождеств.

Слайд 21

Слайд 22

Найти неопределенный интеграл методом непосредственного интегрирования.
Используя свойство неопределенного интеграла, вынесем

за знак интеграла постоянный множитель.
Затем, выполняя элементарные математические преобразования, приведем подынтегральную функцию к степенному виду:

Слайд 23

Решение:

Слайд 24

Слайд 25

Решение:

Слайд 26

Решение:

Слайд 27

Слайд 28

2. Метод подстановки

Слайд 29

Замена переменной (метод подстановки)
Чаще всего этот метод используется, если в подынтегральном

выражении содержится сложная функция, тогда ее промежуточный аргумент и надо обозначить как новую переменную.

Слайд 30

НАПРИМЕР
Далее необходимо выполнить следующие действия:
Найти дифференциал новой переменной ;
Записать прежний

интеграл, используя только переменную t, если подстановка сделана правильно, то полученный интеграл должен быть табличным;
используя таблицу интегралов, записать решение для подынтегральной функции ;
Осуществить обратную подстановку, заменив переменную t.

Слайд 31

Найти
Решение: введем подстановку u = 5x + 3 дифференциал этого

выражения:
d (5x + 3) = du
5dx = du, откуда
dx = 1/5 du
Подставив вместо 5х +3 и dx их значения в данный интеграл, получим:

Слайд 32

Заменив u его выражением через x, имеем:
Проверка:
Интеграл найден правильно.

Слайд 33

Решение:
Заменяя переменную в данном интеграле, имеем:
Подставляя вместо t

его выражение через x, найдем:

Слайд 34

Слайд 35

Найти неопределенный интеграл, используя метод замены переменной.
Сделаем замену переменной t =

sin x, тогда
dt = (sin x)′dx = cos x dx.
Исходный интеграл имеет вид:
Таким образом, мы получили неопределенный интеграл табличного вида: степенная функция.
Используя правило нахождения неопределенного интеграла от степенной функции, найдем:

Слайд 36

Сделав обратную замену, получим окончательный ответ:
Ответ:

Слайд 37

Решение:

Слайд 38

Решение:

Слайд 39

3. Интегрирование по частям

Слайд 40

Метод интегрирования по частям
– это метод, заключающийся в использовании формулы:

Слайд 41

Данный метод интегрирования основан на тождестве:
где u = f(x) и v

= φ(x) - две функции, имеющие на данном промежутке производные.
Взяв интеграл от обеих частей данного тождества, будем иметь:

Слайд 42

Решение:

Слайд 43

Ответ:

Слайд 44

Решение:
Ответ:

Слайд 45

Интегрирование некоторых тригонометрических функций.

Слайд 46

Интегралы от произведений синусов и косинусов с разными аргументами, линейно зависящими

от , упрощаются, если применить тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму:

Слайд 47

Вычислим интеграл
Преобразуем произведение в сумму:
тогда

Слайд 48

Домашнее задание:
Колесов В.В. Математика для медицинских колледжей: учебное пособие/В.В.Колесов, М.Н. Романов.

– Ростов н/Д: Феникс, 2015 – 316 с.: ил.- (среднее медицинское образование). Гл.10, §10.1 -10.2.
Используя материал презентации Занятие 5_НеопределенИнтеграл, выполните из РАБОЧЕЙ ТЕТРАДИ, ТЕМА 2.2, Занятие 5. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла

Первообразная. Неопределенный интеграл

Содержание

Основные вопросы:Определение первообразной. Основное свойство первообразной. Понятие неопределенного интеграла. Основные формулы

Определение первообразной. Основное свойство первообразной. Первообразной функцией по отношению к данной

Понятие неопределенного интеграла. Основные формулы интегрированияСовокупность всех первообразных F(x) +

Геометрический смысл неопределенного интеграла. Геометрически, неопределенный интеграл представляет собой семейство

поскольку функция - первообразная для функции х4.Процесс нахождения неопределенного интеграла

Свойства неопределенного интеграла:1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:Это свойство считается

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:Свойства неопределенного интеграла:

3. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная

4.Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:Свойства неопределенного интеграла:

5.Неопределенный интеграл от суммы 2-х функций равен сумме неопределенных интегралов от

Таблица основных интегралов

Таблица основных интегралов

Таблица основных интегралов

Таблица основных интегралов

Таблица основных интегралов

Основные методы интегрирования

1.Непосредственное интегрирование

Непосредственное интегрирование– это метод, основанный на применении тождественных преобразований подынтегральной функции,

Непосредственное интегрированиеНаиболее часто используются следующие преобразования подынтегральной функции: Деление числителя на

Найти неопределенный интеграл методом непосредственного интегрирования.Используя свойство неопределенного интеграла, вынесем

Решение:

Решение:

Решение:

2. Метод подстановки

Замена переменной (метод подстановки)Чаще всего этот метод используется, если в подынтегральном

НАПРИМЕР Далее необходимо выполнить следующие действия:Найти дифференциал новой переменной ;Записать прежний

Найти Решение: введем подстановку u = 5x + 3 дифференциал этого

Заменив u его выражением через x, имеем: Проверка: Интеграл найден правильно.

Решение: Заменяя переменную в данном интеграле, имеем: Подставляя вместо t

Найти неопределенный интеграл, используя метод замены переменной.Сделаем замену переменной t =

Сделав обратную замену, получим окончательный ответ:Ответ:

Решение:

Решение:

3. Интегрирование по частям

Метод интегрирования по частям– это метод, заключающийся в использовании формулы:

Данный метод интегрирования основан на тождестве:где u = f(x) и v

Решение:

Ответ:

Решение:Ответ:

Интегрирование некоторых тригонометрических функций.

Интегралы от произведений синусов и косинусов с разными аргументами, линейно зависящими

Вычислим интеграл Преобразуем произведение в сумму: тогда

Домашнее задание:Колесов В.В. Математика для медицинских колледжей: учебное пособие/В.В.Колесов, М.Н. Романов.

Похожие презентации

Основные вопросы:
Определение первообразной. Основное свойство первообразной.
Понятие неопределенного интеграла. Основные формулы

Определение первообразной. Основное свойство первообразной.
Первообразной функцией по отношению к данной

Понятие неопределенного интеграла. Основные формулы интегрирования
Совокупность всех первообразных
F(x) +

Геометрический смысл неопределенного интеграла.
Геометрически, неопределенный интеграл представляет собой семейство

поскольку функция - первообразная для функции х4.
Процесс нахождения неопределенного интеграла

Свойства неопределенного интеграла:
1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
Это свойство считается

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
Свойства неопределенного интеграла:

4.Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:
Свойства неопределенного интеграла:

Непосредственное интегрирование
– это метод, основанный на применении тождественных преобразований подынтегральной функции,

Непосредственное интегрирование
Наиболее часто используются следующие преобразования подынтегральной функции:
Деление числителя на

Найти неопределенный интеграл методом непосредственного интегрирования.
Используя свойство неопределенного интеграла, вынесем

Замена переменной (метод подстановки)
Чаще всего этот метод используется, если в подынтегральном

НАПРИМЕР
Далее необходимо выполнить следующие действия:
Найти дифференциал новой переменной ;
Записать прежний

Найти
Решение: введем подстановку u = 5x + 3 дифференциал этого

Заменив u его выражением через x, имеем:
Проверка:
Интеграл найден правильно.

Решение:
Заменяя переменную в данном интеграле, имеем:
Подставляя вместо t

Найти неопределенный интеграл, используя метод замены переменной.
Сделаем замену переменной t =

Сделав обратную замену, получим окончательный ответ:
Ответ:

Метод интегрирования по частям
– это метод, заключающийся в использовании формулы:

Данный метод интегрирования основан на тождестве:
где u = f(x) и v

Решение:
Ответ:

Вычислим интеграл
Преобразуем произведение в сумму:
тогда

Домашнее задание:
Колесов В.В. Математика для медицинских колледжей: учебное пособие/В.В.Колесов, М.Н. Романов.