Методика исследования функций и построение их графиков

Способы задания функции

Функции непрерывные и разрывные

Исследование функций и построение их графика

Готфрид Вильгельм Лейбниц

Способы задания функции

степенные,
показательные,
логарифмические,
тригонометрические,
обратные тригонометрические,
гиперболические,
обратные гиперболические,

Табличный

Аналитический

Графический

Словесный

а также функции, получаемые из них с помощью четырех арифметических действий (сложения, вычитании, умножения и деления) и с помощью операции взятия функции от функции.

элементарные функции:

из двух непрерывных фрагментов

график нельзя нарисовать без отрыва карандаша от бумаги

Непрерывные функции образуют основной класс функций

«чрезвычайно разрывные» функции

- функция Дирихле

Владимир Игоревич Арнольд

Лежен Дирихле

Среди разнообразных функций одной переменной выделяются те, график которых можно нарисовать одним росчерком карандаша без отрыва от бумаги. Такова функция, представленная на рисунке 1.

Бернард Больцано

Иллюстрация к доказательству теоремы о непрерывной функции

Промежутки возрастания, убывания, знакопостоянства и нули функции

схематический

график

Наглядность графика является вспомогательным средством исследования функции. График только иллюстрирует свойства функции, но не доказывает их.

Максимум и минимум функции

Выпуклость и вогнутость графика функции

Асимптоты

Построение графиков функций с применением производной

Построим график функции, учитывая проведенное исследование

(«асимптотос» - несовпадающий)

исследование функции элементарными средствами можно дополнить нахождением промежутков монотонности (возрастания и убывания), экстремумов, промежутков выпуклости графика вверх (вниз), точек перегиба и асимптот графика.

Методические особенности изучения отдельных классов функций

Разработка уроков

Тематическое планирование факультативного курса
«Исследование функций и построение их графиков»

линейные функции и их графики;
квадратичные функции;
функции обратной пропорциональности и дробно-линейные функции;
тригонометрические функции;
показательные и логарифмические функции.

три основные направления введения понятия «функция»:
• упорядочение имеющихся представлений о функции, развертывание системы понятий, характерных для функциональной линии (способы задания и общие свойства функций, графическое истолкование области определения, области значений, возрастания и т. д. на основе метода координат);
• глубокое изучение отдельных функций и их классов;
• расширение области приложений алгебры за счет включения в нее идеи функции и разветвленной системы действий с функцией.

Хинчин
Александр Яковлевич

классы функций:

понятие функциональной зависимости должно стать не только одним из важнейших понятий школьного курса математики, но тем основным стержнем, проходящим от элементарной арифметики до высших разделов алгебры, геометрии, тригонометрии, вокруг которых группируется все математическое представление.

Приоритетной линией комплекта А.Г. Мордковича является функционально-графическая линия:

Функциональная линия в комплекте учебников под редакцией С.М.Никольского занимает ведущее место среди тем учебного курса.

овладеть методами исследования функций и построения их графиков;

усвоить понятие предела функции и непрерывности функции в точке и на интервале;

усвоить понятие функции, обратной данной, и научить находить функцию, обратную данной;

научить находить производную любой элементарной функции;

научить применять производную при исследовании функций и решении практических задач.

б)линейной функции:

а) нанесение нескольких точек;
б) наблюдение — все построенные точки расположены на одной прямой; проведение этой прямой;
в) проверка: берем произвольное значение аргумента и вычисляем по нему значение функции; наносим точку на координатную плоскость — она принадлежит построенной прямой. Отсюда делается вывод о графике данной линейной функции.

построение графика методом «загущения» точек ;
оценочное исследование функции;

характеристическим точкам;
с помощью преобразования графика простейшей функции ? = ?².

в)степенной, показательной и логарифмической функций:

Строится по аналогичным схемам. Главной особенностью является наличие больших ограничений на параметры, ограничение области определения функции.

г)тригонометрических функций

нахождение значений всех тригонометрических функций в «главных» точках.

Сначала по точкам строится график, а затем с помощью графической интерпретации исследуются все свойства функции.

д)квадратичной функции:

Тип урока: лекция Мастер - класс
Тема урока «Множество значений функции: нестандартные задачи»

1.Найдите множество значений функции y = sin ? + cos ?.

(способом введения вспомогательного угла)

.
2.Найдите множество значений функции ? =
Выясним, при каких значениях, а уравнение
=

имеет решение
Уравнение равносильно системе:

.

3.Числа ? и ? удовлетворяют равенству

Найдите все значения, которые может принимать сумма ?² + y².

Найдем все значения

:

, :

которых имеет решение система уравнений при

Цель нашего урока – представить различные методы нахождения множества значений функции.

Задачи урока:
1. Углубление и систематизация знаний по теме «Основные свойства функции».
2. Подготовка учащихся к вступительным экзаменам в технические ВУЗы.
3. Воспитание учащихся целеустремленности, умение доводить все начатое до логического конца, культуры построения графиков функций.

Сообщения по заданным темам.

1) Функции в природе и технике

2) Дробно-линейная функция и ее график

3) Графики функций, содержащих модуль

4) Дробно-рациональная функция

5) Тригонометрические функции

в)? =

Рис.19 Рис.20 Рис.21 Рис.22

.
Построить графики:
а) ? =

?

в)? =

г) у = 2

Уроки повторения имеют своей целью не только восстановление в памяти
учащихся основного материала, но и обобщение, уточнение и
систематизацию их знаний по алгебре и началам анализа за курс средней школы элементом на уроке повторения должна быть самостоятельная работа учащихся.

Цель урока:
обобщить теоретические знания по теме, рассмотреть решения задач, связанных с этой темой, базового и повышенного уровня сложности;
организовать работу учащихся по указанным темам на уровне, соответствующем уровню уже сформированных у них знаний.

• Тема 2. «Классы функций».

• Тема 3. «Разрывные функции и их графики».

• Тема 4. «Кусочно-линейные функции и модули».

• Тема 5. «Графики многочленов».

• Тема 6. «Графики дробно-рациональных функций».

• Тема 7. «Тригонометрические функции».

• Тема 8. «Построение графиков сложных функций».

• Тема 9. «Использование графиков функций для решения различных задач».

• Тема 10. «Итоговая диагностика».

Растяжение и сжатие графика вдоль осей координат.

Построение графика функции ? = ??(?(?‒?))+? по графику функции ?=?(?).

Графики функций, связанных с модулем.

график функции, содержащий модуль