Содержание
- 2. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ОБЪЕКТОВ ПО ПЕРЕХОДНЫМ ФУНКЦИЯМ Основной признак классификации методов идентификации по переходной функции
- 3. Известно, что решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и нулевыми начальными условиями существует и единственно.
- 4. 1. АППРОКСИМАЦИЯ ПЕРЕХОДНОЙ ФУНКЦИИ РЕШЕНИЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ПРОСТЫМИ ВЕЩЕСТВЕННЫМИ КОРНЯМИ Метод последовательного логарифмирования. Этот метод
- 5. . (3.15) Эти условия означают, что аппроксимирующая функция W(s) имеет только вещественные простые полюсы, расположенные на
- 6. , Идея метода заключается в последовательном приближении h(t) вначале решением уравнения первого порядка, т.е. функцией и
- 7. (3.15) Последовательность действий при его применении следующая. По условию все корни αi различны, поэтому скорость убывания
- 8. t или Это соотношение верно при больших значениях времени t, когда влиянием других составляющих можно пренебречь.
- 9. , Для этого вычисляется функция h1(t) = C0 − h(t) и строится график ln |h1(t)| в
- 10. t Если h(t) действительно является решением дифференциального уравнения первого порядка, то функция равна нулю при всех,
- 11. ) Можно построить функцию h2(t) на графике в полулогарифмическом масштабе по оси ординат, для этого следует
- 12. (3.14) Процесс приближения h(t) выражением - прекращается тогда, когда функция hn(t) ≈ 0 с точностью 1
- 13. . (3.16) При правильном определении параметров αi и Ci должны выполняться следующие «начальные» условия: При большом
- 14. . (3.17) Далее (согласно ) получим передаточную функцию объекта W(s), положив x(t) = A1(t), изображение которого
- 15. . Следует указать, что определение коэффициентов Сi и корней αi осуществляется по переходной функции, из которой
- 16. Достоинства и недостатки метода Рассмотренный метод аппроксимации h(t) решением линейного дифференциального уравнения достаточно прост и позволяет
- 17. Пример. Поясним изложенную методику примером определения коэффициентов W(s) по гладкой переходной функции, заданной равноотстоящими значениями h(ti)
- 18. Таблица 1. Данные для примера определения модели объекта
- 19. Графики к примеру определения коэффициентов W(s) методом последовательного логарифмирования График б) График а)
- 20. График а)
- 21. График б)
- 22. таблице 2 Величина С0 равна в данном случае h(42) = 100. Вычтя из нее ординаты функции
- 23. таблицу 2 Вычислим функцию при ti = 0, 2, 4, …, 42 мин и результаты занесем
- 24. Таблица 2. Результаты расчета для примера определения модели объекта
- 25. График б) На рисунке ( ) построена функция ln | h2(t)| и к ней проведена асимптота
- 26. ( Проведем проверку «начальных условий» согласно : h(0)=C0 − C1 − С2 = 100 − 163,3
- 27. . Вывод. Достигнутая точность приближения математического описания переходной функции h(t) в виде суммы двух экспонент составила
- 28. 2. АППРОКСИМАЦИЯ ПЕРЕХОДНОЙ ФУНКЦИИ РЕШЕНИЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ПРОСТЫМИ КОМПЛЕКСНЫМИ КОРНЯМИ Этот метод аппроксимации применяют в
- 29. ), (3.18) Последовательность действий нахождения коэффициентов W(s) такова. Из переходной функции h(t) ( ) выделяется время
- 30. Переходная функция колебательного объекта
- 31. . Как уже отмечалось, метод последовательного логарифмирования дает хорошие результаты, если выполняется условие Полагая временно n
- 32. График Величина βi находится достаточно просто, если известен период T1 колебаний h1(t) , так как β1
- 33. , Для значений времени t = tэg справедливо равенство или после логарифмирования получим ln |h1(tэg)| ≈
- 34. ), Далее вычисляется функция «невязки» h2(tэg): учитывающая влияние других составляющих ряда на форму h(t) . Наиболее
- 35. . Коэффициенты С2, α2, β2, ϕ2 определяются приемами, которые использовались для определения С1, α1, β1, ϕ1
- 36. . Далее записывается уравнение передаточной функции Если коэффициенты Ci , αi , βi , ϕi найдены
- 37. ; Определение некоторых коэффициентов опирается на знание периода колебаний функции h(t), который находится непосредственно из графика
- 38. 1 Вывод. Если достигнута требуемая точность приближения математического описания рассматриваемой переходной функции h(t), то динамические свойства
- 39. 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ МЕТОДОМ «ПЛОЩАДЕЙ» Пусть требуется по таблично или графически заданной переходной функции
- 40. . (3.19) Некоторые из коэффициентов bп, bn − 1, bп− 2, … могут быть равны нулю,
- 41. i Суть метода заключается в разложении функции в «усеченный» ряд по степеням s при s →
- 42. т где L{k − h0} − преобразованная по Лапласу функция [k − h(t)] . В то
- 43. 1 Предел последнего выражения при s → 0 равен , поэтому получаем Введем аппроксимирующую переходную функцию
- 44. . Используя выражение для H1(s), найдем изображение функции «невязок» :
- 45. , Площадь «второго порядка» равна: так как функция стремится при s → 0 к величине .
- 46. 3 Далее вводится переходная функция h2(t), по аналогии находится и т.д. В общем случае получаем зависимость
- 47. т Практическое использование последнего выражения затрудняется как сложностью вычисления Si , так и появлением накапливающихся ошибок
- 48. т В частности, при n = 2 имеем: а при n = 3 получаем:
- 49. i Коэффициенты исходной передаточной функции связаны с величинами или, точнее, с «площадями» Si соотношением где некоторые
- 50. Некоторые рекомендации при использовании метода «площадей» В общем случае при определении коэффициентов W(s) методом «площадей» не
- 51. ; Порядок передаточной функции п определяется по величинам «площадей» : если Si мало по сравнению с
- 52. (3.21) Метод «площадей» не связан с графическими построениями и может быть применен для определения динамических характеристик
- 53. Пример. Рассмотрим пример определения коэффициентов передаточной функции методом «площадей» по переходной функции, заданной и изображенной на
- 54. мин . Затем одним из известных методов численного интегрирования находим величину В нашем примере S1 вычислялось
- 55. 1 Так как ни по виду начального участка h(t), ни из анализа физических процессов, происходящих в
- 56. 1 Переходим от нормированной передаточной функции к обычной функции W(s): или с учетом заранее выделенного запаздывания
- 57. таблице 1 Выводы к примеру. Значения функции y(t), являющейся решением дифференциального уравнения при нулевых начальных условиях
- 58. 4. АППРОКСИМАЦИЯ ПЕРЕХОДНОЙ ФУНКЦИИ РЕШЕНИЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА При использовании данного метода предполагается, что динамические
- 59. ; (3.23) Следовательно переходная функция объекта h(t) должна быть аппроксимирована решением линейного дифференциального уравнения второго порядка
- 60. (3.22) Так как время чистого запаздывания τ и коэффициент усиления k определяются обычными приемами по переходной
- 61. %, Заранее заданная структура передаточной функции - всегда вызывает сомнения в справедливости подобной аппроксимации. Поэтому после
- 62. (3.22) Если величина δg не превышает 2 ÷ 3%, то можно считать допустимой аппроксимацию динамических свойств
- 63. 4.1. Определение постоянных времени объекта T1 и T2 с помощью графических построений Методика определения параметров объекта.
- 64. Определение коэффициентов дифференциального уравнения второго порядка с помощью графических построений
- 65. График б)
- 66. Так как переходные функции многих промышленных объектов не имеют явно выраженной точки перегиба, то определение ее
- 67. . Далее возможны два варианта определения постоянных времени объекта T1 и T2. В первом варианте h(t)
- 68. [ Через точку 3 проводится прямая линия В, параллельная касательной А, и находится время Тb. Предположив,
- 69. из графика б) Во втором варианте h0(t) или h(t) находятся величины Тu , Та , Tη
- 70. номограммам По известной величине отношения Tc к Ta , находящейся в интервале значений 0,73 ≤ Tc/Ta
- 71. Достоинства и недостатки метода Недостатки рассмотренных графических методов аппроксимации переходной функции решением уравнения второго порядка очевидны:
- 72. Номограммы для определения коэффициентов дифференциального уравнения
- 73. Номограммы для нахождения постоянных времени Т1 и T2 по Ольденбургу и Сарториусу
- 74. Пример. Рассмотрим пример нахождения T1 и Т2 по переходной функции h0(t), показанной на с помощью рассмотренных
- 75. График переходной функции к примеру определения динамических характеристик объекта
- 76. график В качестве точки перегиба η переходной функции следует взять точку с координатами {4 мин, 0,25}
- 77. (3.23) Получаем: и TI = 5 мин; и TII = 3,33 мин. Полагая постоянную времени T1
- 78. Подобный просчет и сравнение для данного примера показывают, что при малых значениях времени 0 ≤ t
- 79. 1139, Для определения T1 и T2 другим способом по - определим величину а ≈ 0,035 и
- 80. ; Далее вычислим T2 и T1: Т1 = 8,2 − 3,144 = 5,086 мин. Передаточная функция
- 81. номограмме Для нахождения постоянных времени методом Ольденбурга и Сарториуса вычисляем отношение и по определяем и .
- 82. 4.2. Определение постоянных времени T1 и T2 интерполяционными методами Это весьма многочисленная группа методов нахождения динамических
- 83. (3.23) Обозначим: T1 + T2 = T; и, разделив h(t) на h∞ ≈ h(TУСТ), преобразуем выражение
- 84. 0 По графику кривой h0(t) определяются величины , , , являющиеся ординатами h0(t) при соответствующих аргументах
- 85. 1 Соотношение T ≈ t7/1,2 получено эмпирическим путем, так как при различных соотношениях и оказалось, что
- 86. Номограмма для нахождения коэффициентов дифференциального уравнения интерполяционным методом Зависимость t7= f(z2)
- 87. 0 Проверка справедливости аппроксимации заданной функции h(t) выражением при τ = 0 выполняется путем определения по
- 88. 4 Во втором варианте метода Орманна определяются неизвестные величины T1, T2 и τ. Из графика нормированной
- 89. 0 Далее все операции по определению T1 и T2 выполняются по первому варианту, однако всюду вместо
- 90. Пример. Из находим t7 = 10 мин и определяем: t4 = 0,4T = 0,4⋅8,333 = 3,333
- 91. номограмме Для проверки по этой же определяем = 0,9055 и = 0,4825 при z2 = 0,04.
- 92. Достоинства и недостатки интерполяционных методов Аппроксимация переходных функций решением уравнения типа с помощью интерполяционных приемов обладает
- 93. 5. Аппроксимация переходной функции решением дифференциального уравнения первого порядка Большинство динамических объектов нефтяной и газовой промышленности
- 94. (2.9) Изображение Y(s) по Лапласу функции y(t) можно определить по таблицам преобразования Лапласа или, используя формулу
- 95. график Коэффициент k представляет собой отношение между установившейся величиной выходного сигнала и амплитудой входного сигнала. Постоянная
- 96. график Если провести касательную к графику переходной функции на начальном участке до точки пересечения с уровнем
- 97. Переходная характеристика системы первого порядка
- 98. 6. Аппроксимация переходной функции решением дифференциального уравнения первого порядка с запаздыванием Если переходная функция запаздывает на
- 99. , (3.27) Аппроксимирующая передаточная функция будет иметь вид: Коэффициент усиления k находится обычным способом: k =
- 100. Переходная характеристика системы первого порядка с запаздыванием
- 101. график Если при определении значений T и τ по графику переходной функции возникают определенные трудности, то
- 102. . Аппроксимирующая кривая ( ) будет пересекать экспериментальную переходную функцию в начале координат, точках A и
- 103. Определение T и τ интерполяционным методом
- 104. Пример. Определим величины Т и τ передаточной функции по функции h0(t) , показанной на . Выберем
- 105. . Получаем передаточную функцию объекта В качестве проверки вычислим несколько значений h(t) по выражению и покажем
- 106. 7. Аппроксимация переходной функции решением дифференциального уравнения с кратными действительными корнями Переходная функция промышленного объекта аппроксимируется
- 107. графике б) Требуется определить всего лишь два неизвестных параметра: Т и n , сохранив при этом
- 108. Номограммы для нахождения коэффициентов дифференциального уравнения с кратными корнями
- 109. Пример. Аппроксимируем переходную функцию ( ) решением дифференциального уравнения с кратными корнями . Из графика h(t)
- 110. (3.28) Передаточная функция будет иметь следующий вид: Проверка точности аппроксимации осуществляется путем вычисления ряда значений h(t)
- 111. 8. Аппроксимация переходных функций объектов, содержащих интегрирующие звенья В общем случае дифференциальное уравнение движений выходной координаты
- 112. (3.30) Уравнение можно легко свести к обычному для нас уравнению типа . Это достигается подстановкой dly(t)
- 113. Переходные функции объектов с интегрирующими свойствами При известной форме испытательного входного воздействия x(t) нетрудно по виду
- 114. , Аппроксимирующая передаточная функция, согласно - имеет полюс кратности l в начале координат и может быть
- 115. На практике чаще применяют графические методы аппроксимации переходных функций объектов с интегрирующими свойствами. В тех случаях,
- 116. Определение коэффициентов передаточной функции объекта с интегрирующими свойствами
- 117. номограмм Этот метод применим тогда, когда значения h(t) при 0≤ t ≤τ не превышают величины Δ,
- 118. Номограммы для нахождения коэффициентов дифференциального уравнения объекта с интегрирующими свойствами
- 119. End
- 120. Формула (2.9)
- 122. Скачать презентацию