Содержание
- 2. Введение Научный вклад в развитие теории многогранников Выпуклые однородные многогранники. Платоновы и Архимедовы тела. Некоторые звёздчатые
- 3. Тема " Многогранники " одна из основных тем в школьном курсе геометрии. Эта тема имеет яркие
- 4. Математика: лабиринты открытий. Стереометрия как наука известна уже очень давно. Изысканиями в этой области занимались многие
- 5. Научный вклад в развитие теории многогранников философов-математиков Леонардо Да Винчи Архимеда Платона Евклида Кеплера
- 6. Леонардо да Винчи ввел термин "золотое сечение", означающий такое деление отрезка на две части, когда большая
- 7. около 287 – 212 гг. до н.э. Математик, физик и инженер Архимед Сиракузский оставил после себя
- 8. Платон около 429 – 347 гг до н.э. Платоновыми телами называются правильные однородные выпуклые многогранники, то
- 9. Характеристики платоновых тел
- 10. «Начала Евклида. «…в науке нет царского пути» около 365 – 300 гг. до н.э. Главный труд
- 11. 1571 – 1630 гг. Немецкий астроном и математик. Один из создателей современной астрономии. Вклад Кеплера в
- 12. Космологическая гипотеза Кеплера Кеплер предположил, что расстояния между шестью известными тогда планетами выражаются через размеры пяти
- 13. Космологическая гипотеза Кеплера Вокруг сферы Меркурия, ближайшей к Солнцу планеты, описан октаэдр. Этот октаэдр вписан в
- 14. I. ВЫПУКЛЫЕ ОДНОРОДНЫЕ МНОГОГРАННИКИ. ПЛАТОНОВЫ И АРХИМЕДОВЫ ТЕЛА
- 15. Модель№1 Тетраэдр Простейшим среди многогранников является тетраэдр. Его четыре грани — равносторонние треугольники. Четыре — это
- 16. Модель№2 Октаэдр Октаэдр — это многогранник, гранями которого являются восемь равносторонних треугольников. Так как его противоположные
- 17. Модель№3 Гексаэдр (куб) Несомненно, куб, или, как его иногда называют математики, гексаэдр — самый общеизвестный и
- 18. Модель№4 Икосаэдр Икосаэдр — одно из пяти Платоновых тел, по простоте следующее за тетраэдром и октаэдром.
- 19. Модель№5 Додекаэдр В известном смысле додекаэдр представляет наибольшую привлекательность среди Платоновых тел, соперничая с икосаэдром, который
- 20. Модель№6 Усечённый тетраэдр
- 21. Модель№7 Усечённый октаэдр
- 22. Модель№8 Усечённый гексаэдр (куб) Этот многогранник представляет собой всего-навсего усечённый куб. Вряд ли его модель кого-нибудь
- 23. Модель№9 Усечённый икосаэдр
- 24. Модель№10 Усечённый додекаэдр Гранями этого многогранника являются правильные треугольники и десятиугольники.
- 25. Модель№11 Кубооктаэдр Само название многогранника указывает на некую близость его к кубу и к октаэдру. Такая
- 26. Модель№12 Икосододекаэдр Икосододекаэдр, подобно кубооктаэдру, являет собой квазиправильный комбинированный многогранник.
- 27. Модель№13 Ромбокубооктаэдр Название многогранника и на этот раз объясняет его происхождение. Множество квадратных граней ромбокубооктаэдра разбивается
- 28. Модель№14 Ромбоикосододекаэдр Эта модель принадлежит к числу наиболее привлекательных среди всех других моделей архимедовых тел.
- 29. Модель№15 Ромбоусечённый кубооктаэдр Этот многогранник, известный также под названием усечённого кубооктаэдра
- 30. Модель№16 Ромбоусечённый икосододекаэдр Этот многогранник часто называют также усечённым додекаэдром.
- 31. Модель№17 Курносый куб Этот многогранник можно вписать в куб таким образом, что плоскости шести квадратных его
- 32. Модель№18 Курносый додекаэдр Этот многогранник находится в таком же отношении к правильному додекаэдру, в каком курносый
- 33. II. НЕКОТОРЫЕ ЗВЁЗДЧАТЫЕ ФОРМЫ И СОЕДИНЕНИЯ
- 34. Модель№19 Звёздчатый октаэдр (stella octangula Кеплера) У октаэдра есть только одна звёздчатая форма. Её можно рассматривать
- 35. Модель№20 Малый звёздчатый додекаэдр Этот многогранник — одно из тел Кеплера — Пуансо.
- 36. Модель№21 Большой додекаэдр Этот многогранник составлен из 12 пересекающихся пятиугольных граней.
- 37. Модель№22 Большой звёздчатый додекаэдр Это последняя звёздчатая форма правильного додекаэдра. модель многогранника можно изготовить, подклеивая треугольные
- 38. Модель№23 Соединение пяти октаэдров Каждую грань этого многогранника образуют два равносторонних треугольника, расположенных так, как показано
- 39. Модель№24 Соединение пяти тетраэдров Асимметричное и скошенное положение граней этого многогранника придаёт ему необычайно привлекательный вид.
- 40. Модель№25 Соединение десяти тетраэдров Этот многогранник представляет собой комбинацию двух энантиоморфных форм соединения пяти тетраэдров.
- 41. Модель№26 Первая звёздчатая форма икосаэдра Эту модель делают из 20 частей, Каждая часть представляет собой невысокую
- 42. Модель№27 Вторая звёздчатая форма икосаэдра На этой очень красивой модели заметны пятигранные высокие пики, выступающие из
- 43. Модель№28 Третья звёздчатая форма икосаэдра Этот весьма простой многогранник принадлежит к семейству дельтаэдров. Для дельтаэдров характерно,
- 44. Модель№29 Четвёртая звёздчатая форма икосаэдра Как уже отмечалось, процесс продолжения граней икосаэдра ведёт к появлению десяти
- 45. Модель№30 Пятая звёздчатая форма икосаэдра Многие звёздчатые формы икосаэдра внешне очень похожи на большой икосаэдр. Одна
- 46. Модель№31 Шестая звёздчатая форма икосаэдра На модели легко обнаружить 12 длинных пиков, выступающих из впадин модели
- 47. Модель№32 Седьмая звёздчатая форма икосаэдра
- 48. Модель№33 Восьмая звёздчатая форма икосаэдра
- 49. Модель№34 Девятая звёздчатая форма икосаэдра На рисунке вы легко узнаете грань длинного пика модели. В предыдущих
- 50. Модель№35 Десятая звёздчатая форма икосаэдра Дальнейшее продолжение граней икосаэдра приводит к появлению нового типа отсеков —
- 51. Модель№36 Одиннадцатая звёздчатая форма икосаэдра
- 52. Модель№37 Двенадцатая звёздчатая форма икосаэдра
- 53. Модель№38 Тринадцатая звёздчатая форма икосаэдра
- 54. Модель№39 Четырнадцатая звёздчатая форма икосаэдра Этот многогранник, весьма эффектный благодаря оригинальным скошенным граням, обладает обычной симметрией
- 55. Модель№40 Пятнадцатая звёздчатая форма икосаэдра Многогранник состоит из 60 небольших пиков, расположенных так, что нутро его
- 56. Модель№41 Большой икосаэдр Из описанных до сих пор многогранников, пожалуй, самым красивым и декоративным является большой
- 57. Модель№42 Завершающая звёздчатая форма икосаэдра Показанный на фотографии многогранник — завершающая звёздчатая форма икосаэдра. Модель как
- 58. Модель№43 Соединение куба и октаэдра Первой звёздчатой формой кубооктаэдра является соединение куба и октаэдра. Если воспользоваться
- 59. Модель№44 Вторая звёздчатая форма кубооктаэдра Этот многогранник является следующей звёздчатой формой кубооктаэдра. Он образован из соединения
- 60. Модель№45 Третья звёздчатая форма кубооктаэдра Этот многогранник весьма интересен по двум причинам. Во-первых, на его модели
- 61. Модель№46 Завершающая звёздчатая форма кубооктаэдра Итоговая звёздчатая форма кубооктаэдра особенно привлекает тем, что она является соединением
- 62. Модель№47 Первая звёздчатая форма икосододекаэдра Этот многогранник являет собой пример соединения двух платоновых тел — додекаэдра
- 63. Модель№48 Вторая звёздчатая форма икосододекаэдра Этот многогранник — вторая звёздчатая форма икосододекаэдра, принадлежащая упомянутой выше «основной
- 64. Модель№49 Третья звёздчатая форма икосододекаэдра Многогранник является третьей звёздчатой формой на «основной линии» икосододекаэдров. Любопытно, что
- 65. Модель№50 Четвёртая звёздчатая форма икосододекаэдра Многогранник представляет собой соединение малого звёздчатого додекаэдра и икосаэдра модели 26,
- 66. Модель№51 Пятая звёздчатая форма икосододекаэдра Многогранник устроен так: малый звёздчатый додекаэдр как бы пронизывает соединение пяти
- 67. Модель№52 Шестая звёздчатая форма икосододекаэдра Звёздчатая грань этого многогранника, лежащая в одной плоскости с любой из
- 68. Модель№53 Седьмая звёздчатая форма икосододекаэдра Многогранник представляет собой соединение большого додекаэдра — второй звёздчатой формы додекаэдра
- 69. Модель№54 Восьмая звёздчатая форма икосододекаэдра В этом многограннике легко распознать соединение пяти тетраэдров, пронизанное большим додекаэдром.
- 70. Модель№55 Девятая звёздчатая форма икосододекаэдра Многогранник представляет собой соединение 10 тетраэдров, на котором «тень» большого додекаэдра
- 71. Модель№56 Десятая звёздчатая форма икосододекаэдра Этот простой многогранник внешне напоминает дельтаэдр 28 — одну из звёздчатых
- 72. Модель№57 Одиннадцатая звёздчатая форма икосододекаэдра Этот многогранник представляет особый интерес благодаря удивительному сходству с одним из
- 73. Модель№58 Двенадцатая звёздчатая форма икосододекаэдра Как можно судить по фотографии, этот многогранник весьма привлекателен. Он образован
- 74. Модель№59 Тринадцатая звёздчатая форма икосододекаэдра В этой модели большой звёздчатый додекаэдр пронизан телом одного из звёздчатых
- 75. Модель№60 Четырнадцатая звёздчатая форма икосододекаэдра Этот многогранник представляет собой соединение большого звёздчатого додекаэдра с усечённой формой
- 76. Модель№61 Соединение большого звёздчатого додекаэдра и большого икосаэдра По-видимому, самыми впечатляющими из всех многогранников следует считать
- 77. Модель№62 Пятнадцатая звёздчатая форма икосододекаэдра Этот многогранник замечателен своим совершенным сходством с однородным многогранником 95, который
- 78. Многогранники вокруг нас Интересно и то, что именно икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их
- 79. Литография «Водопад» В центре картины расположен комплекс конструкций поднимающийся на фоне ландшафта с террасами Вертикальная ось
- 80. III. НЕВЫПУКЛЫЕ ОДНОРОДНЫЕ МНОГОГРАННИКИ
- 81. Модель№63 Шестнадцатая звёздчатая форма икосододекаэдра В некоторых звёздчатых икосаэдрах вершины связываются друг с другом лишь отсеками
- 82. Модель№64 Семнадцатая звёздчатая форма икосододекаэдра Этот многогранник тесно связан с соединением большого звёздчатого додекаэдра и большого
- 83. Модель№65 Восемнадцатая звёздчатая форма икосододекаэдра Отверстия в теле многогранника и структура его внутренней поверхности — это
- 84. Модель№66 Завершающая звёздчатая форма икосододекаэдра Завершающие звёздчатые формы любых многогранников всегда вызывают особый интерес. Перед нами
- 85. Модель№67 Тетрагемигексаэдр В этом простом многограннике легко узнать огранённую форму октаэдра. Топологически он представляет собой известный
- 86. Модель№68 Октагемиоктаэдр Этот многогранник представляет собой огранённый кубооктаэдр. Иногда его называют также октатетраэдром. Четыре экваториальные шестиугольные
- 87. Модель№69 Малый кубокубооктаэдр Этот многогранник получен в результате огранки ромбокубооктаэдра. Его квадратные грани лежат на плоскостях
- 88. Модель№70 Малый битригональный икосододекаэдр Этот многогранник состоит из 12 пентаграмм на гранях додекаэдра и 20 треугольников
- 89. Модель№71 Малый икосоикосододекаэдр Гранями многогранника служат 20 треугольников, 20 шестиугольников и 12 пятиконечных звёзд, причём треугольники
- 90. Модель№72 Малый додекоикосододекаэдр Этот многогранник легко распознать как огранённую форму ромбоикосододекаэдра. Для его пятиугольных и десятиугольных
- 91. Модель№73 Додекододекаэдр Этот многогранник содержит 12 звёзд на гранях додекаэдра, а на параллельных плоскостях под звёздами
- 92. Модель№74 Малый ромбододекаэдр Этот многогранник также получен из ромбоикосододекаэдра. Пятиугольные грани последнего удалены, и их место
- 93. Модель№75 Усечённый большой додекаэдр
- 94. Модель№76 Ромбододекододекаэдр Этот красивый, почти шарообразный многогранник, очень напоминает пляжный резиновый мяч.
- 95. Модель№77 Большой кубокубооктаэдр Этот многогранник представляет собой огранённый куб. Каждая восьмиугольная звезда лежит на гранях окружающего
- 96. Модель№78 Кубогемиоктаэдр Этот многогранник служит примером другой огранки кубооктаэдра
- 97. Модель№79 Кубооктоусечённый кубооктаэдр Этот многогранник есть не что иное, как огранённый октаэдр. Двугранные желобки между лучами
- 98. Модель№80 Битригональный додекаэдр Этот многогранник особенно интересен своей тесной связью с большим звёздчатым додекаэдром. Описание этой
- 99. Модель№81 Большой битригональный додекоикосододекаэдр Показанный на фотографии многогранник относится к семейству икосододекаэдров.
- 100. Модель№82 Малый битригональный додекоикосододекаэдр Возможно, это один из самых замечательных многогранников, ибо, хотя он и имеет
- 101. Модель№83 Икосододекододекаэдр Этот многогранник во многом схож с моделью 76, с той лишь разницей, что роль
- 102. Модель№84 Икосододекоусечённый икосододекаэдр Изображённый на фотографии многогранник относится к семейству икосаэдра в том же смысле, в
- 103. Модель№85 Квазиромбокубооктаэдр Этот многогранник во многом сходен с моделью 77 Восьмиугольные звёздчатые грани этой модели в
- 104. Модель№86 Малый ромбогексаэдр Этот многогранник представляет собой иной вариант огранки ромбокубооктаэдра, весьма напоминающий модель 69. Вообразите,
- 105. Модель№87 Большой битригональный икосододекаэдр Этот многогранник, как и многогранник 70, — битригональный икосододекаэдр, но в отличие
- 106. Модель№88 Большой икосоикосододекаэдр Этот многогранник связан с моделью 81. Их отличие сводится к тому, что десятиугольные
- 107. Модель№89 Малый икосогемидодекаэдр Как и модель 91, эта модель представляет собой огранённую форму икосододекаэдра. Десятиугольные сечения
- 108. Модель№90 Малый додекоикосаэдр Как и в случае многогранника 82, публикация об этом многограннике впервые появилась лишь
- 109. Модель№91 Малый додекогемидодекаэдр Выше уже упоминались отношения, в которых находится этот многогранник к модели 89 и
- 110. Модель№92 Квазиусечённый гексаэдр Многогранник представляет собой квазиусечённый куб. Шесть его октаграммы лежат на гранях внутреннего куба.
- 111. Модель№93 Квазиусечённый кубооктаэдр Шесть октаграммы этого многогранника лежат на гранях правильного гексаэдра. 12 квадратных граней пересекаются
- 112. Модель№94 Большой икосододекаэдр Изображённый на фотографии многогранник называется большим икосододекаэдром, поскольку 20 его треугольных и 12
- 113. Модель№95 Усеченный большой икосаэдр Многогранник представляет собой усечённый вариант большого икосаэдра 41, поэтому для построения можно
- 114. Модель№96 Ромбоикосаэдр Рассматриваемый многогранник тесно связан с моделями 76 и 83. Все они содержат одно и
- 115. Модель№97 Квазиусечённый звёздчатый додекаэдр Этот многогранник представляет собой квазиусечённую форму малого звёздчатого додекаэдра.
- 116. Модель№98 Квазиусечённый додекаэдр Этот многогранник находится в том же отношении к большому звёздчатому додекаэдру, что и
- 117. Модель№99 Большой додекоикосододекаэдр Эта модель особенно хороша в цвете благодаря легко различимым чеканным телесным звёздам, выступающим
- 118. Модель№100 Малый додекогемиикосаэдр Поверхность этого многогранника составляют 12 пентаграмм, лежащих в гранях додекаэдра, и 10 экваториальных
- 119. Модель№101 Большой додекоикосаэдр Этот многогранник во всём подобен модели 81, за исключением того, что выемки и
- 120. Модель№102 Большой додекогемиикосаэдр Рассматриваемый многогранник представляет собой огранённый вариант додекододекаэдр. Поверхности огранённых звёзд образованы пересечением пятиугольных
- 121. Модель№103 Большой ромбогексаэдр Этот многогранник имеет прямое отношение к модели 77, но четырёхгранные выемки и двугранные
- 122. Модель№104 Квазиусечённый большой звёздчатый додекаэдр Этот многогранник представляет собой квазиусечённый вариант большого звёздчатого додекаэдра. Лучи последнего
- 123. Модель№105 Квазиромбоикосододекаэдр Этот многогранник очень похож на модель 99 с той лишь разницей, что десятиугольные звёздчатые
- 124. Модель№106 Большой икосогемидодекаэдр Рассматриваемый многогранник непосредственно связан с моделью 94. И на этой модели можно увидеть
- 125. Модель№107 Большой додекогемидодекаэдр Этот многогранник сродни как модели 94, так и модели 106. Его конструкция очень
- 126. Модель№108 Большой квазиусечённый икосододекаэдр Изображённый на фотографии многогранник состоит из очень большого числа частей, так что
- 127. Модель№109 Большой ромбододекаэдр Десятиугольные грани этого многогранника совпадают с гранями модели 99, но вместо пятиугольных и
- 128. Модель№110 Малый курносый икосододекаэдр Это первая из моделей невыпуклых курносых многогранников, и её легче всего построить.
- 129. Модель№111 Курносый додекододекаэдр Этот многогранник имеет 12 пятиугольных звёзд, расположенных в параллельных плоскостях над плоскостями пятиугольных
- 130. Модель№112 Курносый икосододекододекаэдр Как и в модели 111, пятиугольные звёздчатые грани этого многогранника лежат в плоскостях,
- 131. Модель№113 Большой вывернутый курносый икосододекаэдр Этот многогранник служит ещё одним примером курносого тела, модель которого сравнительно
- 132. Модель№114 Вывернутый курносый додекододекаэдр У этого многогранника есть интересная особенность: лучи его пентаграмм как бы слегка
- 133. Модель№115 Большой курносый додекоикосододекаэдр Характерной чертой этого многогранника является наличие сдвоенных пентаграмм, лежащих в одной плоскости.
- 134. Модель№116 Большой курносый икосододекаэдр В этом многограннике содержатся очень маленькие элементы поверхности, которые, хотя формально и
- 135. Модель№117 Большой вывернутый обратнокурносый икосододекаэдр Этот многогранник поистине замечателен своей сложностью. Глубокие пятигранные чаши на его
- 136. Модель№118 Малый вывернутый обратнокурносый икосоикосододекаэдр Этот сложный многогранник имеет одно общее свойство с рассмотренной выше моделью
- 137. Модель№119 Большой биромбоикосододекаэдр Этот многогранник замечателен по нескольким причинам. Прежде всего математически он отличается от всех
- 138. Задачи "Многогранники"
- 139. Задача№1 Задача№2
- 140. Задача№3 Задача№4
- 142. Скачать презентацию