- Главная
- Математика
- Начертательная геометрия. Пересечение плоскостей
Содержание
- 2. 3.5.1. Прямая линия, пересекающая плоскость Поставлена задача: Определить точку К пересечения данной прямой а с плоскостью
- 3. А теперь посмотрите как выполняются эти этапы алгоритма на пространственном рисунке и при проецировании всех элементов
- 4. Выполняем 2-й этап алгоритма 33
- 5. Точка К - искомая точка пересечения данной прямой а с плоскостью АВС. Выполняем 3-й этап алгоритма
- 6. Рассмотрим применение данного алгоритма при решении задачи на построение точки К пересечения прямой а с плоскостью
- 7. В первом случае плоскость α (АВС) - горизонтально проецирующая. Поэтому горизонтальная проекция К1 искомой точки К
- 8. Во втором случае прямая а - фронтально-проецирующая. Поэтому фронтальные проекции любой ее точки, а также и
- 9. c2 c1 d2 d1 a1 В третьем, общем, случае построение искомой точки К пересечения прямой а
- 10. c2 c1 d2 d1 12 22 21 Задачу заканчивают определением видимости прямой по правилу конкурирующих точек.
- 11. Определение линии пересечения двух плоскостей общего положения Для определения точек линии пересечения обе заданные плоскости α
- 12. Y X Z П 2 П 1 A B C D E K M N O
- 13. B2 D2 E 2 C2 A2 E 1 B 1 D 1 A 1 1-й этап
- 14. B2 D2 E2 C2 A2 B 1 D 1 A 1 12 1 1 22 2
- 15. A2 B2 C2 D2 E2 32 52 22 12 31 71 61 11 E1 D1 Σ
- 16. A x V H 4.1. Способ замены плоскостей проекций Этот способ состоит в том, что заданная
- 17. A x V H x 1 V 1 A ' A " 1 1 V 1
- 18. 44 Решение четырех основных задач способом замены плоскостей проекций Задача 1. Преобразовать чертеж так, чтобы прямая
- 19. 45 На плоском чертеже новая ось x1 проведена параллельно a', новые линии связи A'A1" и B'B1"
- 20. 47 x H V H H V V x β α а) б) Задача 3. Преобразовать
- 22. Скачать презентацию
3.5.1. Прямая линия, пересекающая плоскость
Поставлена задача:
Определить точку К пересечения
3.5.1. Прямая линия, пересекающая плоскость
Поставлена задача:
Определить точку К пересечения
Символическая запись алгоритма
Определить видимость прямой a по правилу конкурирующих точек
Решение задачи выполняется в три этапа.
2
31
А теперь посмотрите как выполняются эти этапы алгоритма на пространственном рисунке
А теперь посмотрите как выполняются эти этапы алгоритма на пространственном рисунке
Геометрические образы (пл. АВС, прямая а) спроецированы на плоскость П.
32
Выполняем 2-й этап алгоритма
33
Выполняем 2-й этап алгоритма
33
Точка К - искомая точка пересечения данной прямой а с плоскостью
Точка К - искомая точка пересечения данной прямой а с плоскостью
Выполняем 3-й этап алгоритма
34
Рассмотрим применение данного алгоритма при решении задачи на построение точки К
Рассмотрим применение данного алгоритма при решении задачи на построение точки К
- прямая а - общего положения, плоскость α - проецирующая (или уровня);
- прямая а - проецирующая, плоскость α - общего положения;
- прямая а - общего положения, плоскость α - общего положения.
Решение первых двух задач можно выполнить, не применяя алгоритма, так как один из заданных образов частного положения.
35
В первом случае плоскость α (АВС) - горизонтально проецирующая.
Поэтому горизонтальная проекция
В первом случае плоскость α (АВС) - горизонтально проецирующая.
Поэтому горизонтальная проекция
Фронтальная проекция К2 точки К строится из условия принадлежности точки К прямой а.
36
Во втором случае прямая а - фронтально-проецирующая.
Поэтому фронтальные проекции любой ее
Во втором случае прямая а - фронтально-проецирующая.
Поэтому фронтальные проекции любой ее
Построение горизонтальной проекции К' точки К выполняется из условия принад-лежности точки К плоскости α: точка К принадлежит плоскости α, так как она принадлежит ее прямой A1 (К' находится как точка пересечения прямой A' 1' с прямой а' ).
Видимость прямой а в этих задачах решает-ся просто - с помощью реконструкции данных образов (по наглядности).
37
c2
c1
d2
d1
a1
В третьем, общем, случае построение искомой точки К пересечения прямой а
c2
c1
d2
d1
a1
В третьем, общем, случае построение искомой точки К пересечения прямой а
1) прямую а заключают во вспомогательную горизонтально проецирующую плоскость- посредник Σ(Σ1);
2) строят прямую m пересечения плоскостей α (c//d) и Σ(Σ1). На чертеже это отразится записью (a1≡ Σ1≡ m1 ). Фронтальную проекцию m2 строят из условия ее принадлежности данной плоскости α(m и α имеют общие точки 1 и 2);
3) находят точку K2 , как результат пересече-ния a2 с m2, а K1 строят по принадлежности прямой m1. Точка K(K2, K1) - искомая точка пересечения прямой a с плоскостью α (c//d).
38
c2
c1
d2
d1
12
22
21
Задачу заканчивают определением видимости прямой по правилу конкурирующих точек. Так, на
c2
c1
d2
d1
12
22
21
Задачу заканчивают определением видимости прямой по правилу конкурирующих точек. Так, на
На фронтальной плоскости видимость может быть определена или с помощью пары фронтально-конкурирующих точек, или по реконструкции данных образов (при восхо-дящей плоскости видимость одинаковая на плоскостях П1 и П2).
Данная задача после определения види-мости прямой а имеет вид данного рисунка.
39
Определение линии пересечения двух плоскостей общего положения
Для определения точек линии
Определение линии пересечения двух плоскостей общего положения
Для определения точек линии
вспомогательными (параллельными между собой) плоскостями-посредник. Некоторое
упрощение можно достичь, если вспомогательные плоскости проводить через прямые,
задающие плоскость.
Рассмотрим пример. Плоскость α задана (ABC), плоскость β задана (DEK). Точки M и N,
определяющие искомую линию пересечения двух данных плоскостей найдем как точки
пересечения каких-либо двух сторон (как две прямые) треугольника ABC с плоскостью другого
треугольника DEK, т.е. дважды решим позиционную задачу на определение точки пересечения
прямой с плоскостью по рассмотренному алгоритму.
Выбор сторон треугольников произволен, так как только построением можно точно определить,
какая действительно сторона и какого треугольника пересечет плоскость другого. Выбор
плоскости-посредник также произволен, так как прямую общего положения, какими являются
все стороны треугольников ABC и DEK, можно заключить в горизонтально проецирующую
или во фронтально проецирующую плоскости.
42
Y
X
Z
П 2
П 1
A
B
C
D
E
K
M
N
O
Здесь вы видите аксонометри-ческое изображение решения задачи на определение
Y
X
Z
П 2
П 1
A
B
C
D
E
K
M
N
O
Здесь вы видите аксонометри-ческое изображение решения задачи на определение
43
B2
D2
E 2
C2
A2
E 1
B 1
D 1
A 1
1-й этап решения
Для построения точки M
B2
D2
E 2
C2
A2
E 1
B 1
D 1
A 1
1-й этап решения
Для построения точки M
1. Обозначаем горизонтально проецирующую плоскость - Σ
2-й этап решения
Строим линию пересечения (на чертеже она задана точками 1 и 2) плоскости-посредника Σ (Σ1) и плоскости DEK.
2. Ставим точки пересечения на плоскости П1 - 11 и 21 и переносим их на П2 на одноименные стороны треугольника- 12 и 22 Соединяем точки 12 и 22 тонкой линией.
3-й этап решения
Находим точку M пересечения прямой 1 - 2 с прямой AB.
3. Пересечение проекций прямых 1222 и А2В2 обозначаем М2 и переносим её на горизонтальную проекцию прямой А1В1 - М1
Найдена одна точка M искомой линии пересечения.
44
B2
D2
E2
C2
A2
B 1
D 1
A 1
12
1 1
22
2 1
Для построения точки N использована горизонтально
B2
D2
E2
C2
A2
B 1
D 1
A 1
12
1 1
22
2 1
Для построения точки N использована горизонтально
Построение аналогично предыдущим.
Обозначаем горизонтально проецирующую плоскость Ψ 1
Ставим точки пересечения 3 1 и 4 1 .
Переноси точки 3 1 и 4 1 на фронтальную проекцию на одноименные стороны треугольника - 3 2 и 4 2 .
3. Пересечение проекций прямых 3242 и D2K2 обозначаем N2 и переносим её на горизонтальную проекцию прямой D1K1 - N1 .
Обращаем внимание, что фактически видимым стало пересечение ∆ABC прямой DK, а не АС! Если повторить решение заключив в проецирующую плоскость DK, то ответ будет таким же.
45
A2
B2
C2
D2
E2
32
52
22
12
31
71
61
11
E1
D1
Σ 1
21
Ψ 1
Определение видимости
Определение видимости на плоскости П1 выполнено с помощью
A2
B2
C2
D2
E2
32
52
22
12
31
71
61
11
E1
D1
Σ 1
21
Ψ 1
Определение видимости
Определение видимости на плоскости П1 выполнено с помощью
Точка 4 расположена над точкой 8 (42 и 82), поэтому на плоскости П1 часть треугольника DEK, расположенная в сторону точки 4, закрывает собой часть треугольника ABC, расположенную от линии пересечения в сторону точки 8.
С помощью пары фронтально конку-рирующих точек 6 и 7 (62≡72) определена видимость на плоскости П2.
Невидимые линии проводим тонкой штриховой линией, а видимые толстой основной.
46
Направление взгляда для определения видимости на П1
A
x
V
H
4.1. Способ замены плоскостей проекций
Этот способ состоит в том, что заданная
A
x
V
H
4.1. Способ замены плоскостей проекций
Этот способ состоит в том, что заданная
фигура неподвижна, а одна из основных
плоскостей V или H заменяется новой
дополнительной плоскостью V1 или H1,
расположенной параллельно или пер-
пендикулярно заданной геометрической
фигуре. Точка A задана в системе V/H.
Плоскость V замерена новой плоскостью
V1 перепендикулярной H. Плоскость H
является общей в системе V/H и H/V1,
то координата zA остается неизменной.
Следовательно, расстояние от новой
фронтальной проекции до новой оси x1
равно расстоянию от заменяемой
проекции до оси x.
47
A
x
V
H
x
1
V
1
A
'
A
"
1
1
V
1
Для получения плоского чертежа точки А плоскость V1 вращают вокруг оси
A
x
V
H
x
1
V
1
A
'
A
"
1
1
V
1
Для получения плоского чертежа точки А плоскость V1 вращают вокруг оси
до совмещения с плоскостью H.
Новая фронтальная проекция A1" точки А окажется на общем перпендикуляре
к новой оси x1 с оставшейся без изменения ее проекции A'.
42
44
Решение четырех основных задач способом замены
плоскостей проекций
Задача 1.
Преобразовать чертеж
44
Решение четырех основных задач способом замены
плоскостей проекций
Задача 1.
Преобразовать чертеж
прямая общего положения оказалась
параллельной одной из плоскостей
проекций
Новую проекцию прямой, отвечающую поставленной задачи, можно построить на
новой плоскости проекций V1 , расположив ее параллельно самой прямой и перпенди-
кулярно плоскости H, т.е. от системы плоскостей V/H с осью проекций x следует
перейти к системе H/V1 с новой осью x1.
45
На плоском чертеже новая ось x1 проведена параллельно a', новые линии
45
На плоском чертеже новая ось x1 проведена параллельно a', новые линии
и B'B1" проведены перпендикулярно оси x1. Новые фронтальные проекции A1" и B1"
точек A и B получают, измерив от оси x на поле V координаты высот zA и zB,
отложив их от оси x1 на новое поле V1.
Новая проекция a1" дает натуральную величину отрезка AB и угол α наклона его
к плоскости H.
Угол наклона прямой a к плоскости V можно определить, построив изображение
прямой на другой дополнительной плоскости H1 V, где H1// a.
x
H
V
x
H
V
H
α
V
β
а)
б)
47
x
H
V
H
H
V
V
x
β
α
а)
б)
Задача 3. Преобразовать чертеж так, чтобы плоскость общего положения
в новой
47
x
H
V
H
H
V
V
x
β
α
а)
б)
Задача 3. Преобразовать чертеж так, чтобы плоскость общего положения
в новой
Для этого в плоскости ABC проведена горизонталь h. Новая плоскость проекций V1
расположена перпендикулярно H. Горизонталь на поле V1 изобразится точкой, а вся
плоскость прямой линией C1"A1" B1" с углом α, который определяет угол наклона
плоскости ABC к плоскости H (рис.а).
Построив изображение плоскости в системе V/H1, где H1 расположена перпендикулярно
фронтали f (рис. б) плоскости, можно определить угол β наклона ABC к плоскости V.