Системы линейных уравнений

Сентябрь 12, 2022

Главная
Математика
Системы линейных уравнений

Содержание

2. 2. Системы линейных уравнений
3. Понятие СЛУ Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид: В кратком виде такую систему
4. Виды СЛУ СЛУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если решений нет, то
5. СЛУ в матричной форме Матрицей системы называется матрица коэффициентов при переменных:
6. СЛУ в матричной форме Матрица-столбец неизвестных: Матрица-столбец свободных членов (правых частей): Тогда СЛУ можно записать в
7. Метод обратной матрицы Пусть в СЛУ AX = B матрица A квадратная и невырожденная. Тогда для
8. Метод расширенной матрицы Составим расширенную матрицу системы (A|B). Элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы приведем матрицу A
9. Метод Крамера Теорема Крамера: Пусть матрица СЛУ квадратная и невырожденная. Пусть |Ai| – определитель матрицы, получаемой
10. Элементарные преобразования в СЛУ Теорема (о равносильности СЛУ): При любых элементарных преобразованиях строк расширенной матрицы СЛУ
11. Метод Гаусса Построим для СЛУ расширенную матрицу. С помощью элементарных преобразований приведем расширенную матрицу к ступенчатому
12. Совместность СЛУ Теорема Кронекера-Капелли (о совместности СЛУ): СЛУ совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы
13. Базисные переменные Пусть ранг r расширенной матрицы СЛУ меньше числа переменных. В этом случае СЛУ имеет
14. Базисные решения Если эта матрица невырождена, то выбранные переменные называются основными или базисными. Оставшиеся переменные называются
15. Однородные СЛУ Однородная СЛУ всегда совместна (как минимум, имеется нулевое решение). Для существования ненулевых решений ранг
16. Фундаментальные решения Совокупность линейно независимых решений однородной СЛУ называется фундаментальной, если любое возможное решение этой СЛУ
18. Скачать презентацию

Слайд 2

2. Системы линейных уравнений

Слайд 3

Понятие СЛУ
Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид:
В кратком

виде такую систему записывают

Слайд 4

Виды СЛУ
СЛУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Если решений нет, то несовместной.
Совместная СЛУ называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, ели решений более одного.
Две СЛУ называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.
Если все правые части в СЛУ равны 0, то система называется однородной. Иначе – неоднородной.

Слайд 5

СЛУ в матричной форме
Матрицей системы называется матрица коэффициентов при переменных:

Слайд 6

СЛУ в матричной форме
Матрица-столбец неизвестных:
Матрица-столбец свободных членов (правых частей):
Тогда СЛУ

можно записать в виде: AX = B.

Слайд 7

Метод обратной матрицы
Пусть в СЛУ AX = B матрица A квадратная

и невырожденная. Тогда для матрицы A существует обратная матрица A-1.
Умножим слева обе части матричного уравнения на A-1. Получим: A-1AX = A-1B.
Отсюда: X = A-1B.

Слайд 8

Метод расширенной матрицы
Составим расширенную матрицу системы (A|B). Элементарными преобразованиями строк расширенной

матрицы приведем матрицу A к единичной. Тогда матрица B обратится в A-1B.
Расширенная матрица примет вид (E|A-1B).
После чего можем использовать X = A-1B.

Слайд 9

Метод Крамера
Теорема Крамера: Пусть матрица СЛУ квадратная и невырожденная. Пусть |Ai|

– определитель матрицы, получаемой из матрицы A заменой i-го столбца столбцом свободных членов B. Тогда система имеет единственное решение:

Слайд 10

Элементарные преобразования в СЛУ
Теорема (о равносильности СЛУ): При любых элементарных преобразованиях

строк расширенной матрицы СЛУ (кроме транспонирования) получаются равносильные СЛУ.
На этой идее основан метод Гаусса, заключающийся в последовательном исключении неизвестных с помощью элементарных преобразований.

Слайд 11

Метод Гаусса
Построим для СЛУ расширенную матрицу.
С помощью элементарных преобразований приведем расширенную

матрицу к ступенчатому виду.
Если в матрице A образовалась нулевая строка при том, что в столбце правых частей в этой строке не ноль, то СЛУ несовместна.
Если матрица A привелась к треугольному виду, то СЛУ имеет единственное решение.
Если в ступенчатой матрице число неизвестных больше числа уравнений, то СЛУ имеет бесконечное множество решений.

Слайд 12

Совместность СЛУ
Теорема Кронекера-Капелли (о совместности СЛУ): СЛУ совместна тогда и только

тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

Слайд 13

Базисные переменные
Пусть ранг r расширенной матрицы СЛУ меньше числа переменных. В

этом случае СЛУ имеет бесконечное множество решений.
Выберем r переменных и составим матрицу системы из коэффициентов только при этих переменных.
Данная матрица будет квадратной или может быть приведена к квадратной элементарными преобразованиями.

Слайд 14

Базисные решения
Если эта матрица невырождена, то выбранные переменные называются основными или

базисными.
Оставшиеся переменные называются неосновными или свободными.
Решение СЛУ, в котором все свободные переменные полагаются равными нулю, называется базисным.
Замечание: Выбор базисных переменных неоднозначен.

Слайд 15

Однородные СЛУ
Однородная СЛУ всегда совместна (как минимум, имеется нулевое решение).
Для существования

ненулевых решений ранг матрицы системы должен быть меньше числа переменных.
Если e – решение однородной СЛУ, то и λe тоже будет решением.
Если e1 и e2 – решения однородной СЛУ, то и e1 + e2 тоже будет решением.

Слайд 16

Фундаментальные решения
Совокупность линейно независимых решений однородной СЛУ называется фундаментальной, если любое

возможное решение этой СЛУ является линейной комбинацией этих решений.
Теорема ( о фундаментальных решениях однородной системы): Если ранг r матрицы СЛУ меньше числа переменных n, то:
Существует совокупность линейно независимых решений СЛУ.
Число линейно независимых решений равно n – r.
Любое решение СЛУ можно представить в виде линейной комбинации фундаментального набора решений.

Системы линейных уравнений

Содержание

2. Системы линейных уравнений

Понятие СЛУСистема m линейных уравнений с n переменными имеет вид:В кратком

Виды СЛУСЛУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

СЛУ в матричной формеМатрицей системы называется матрица коэффициентов при переменных:

СЛУ в матричной формеМатрица-столбец неизвестных:Матрица-столбец свободных членов (правых частей): Тогда СЛУ

Метод обратной матрицыПусть в СЛУ AX = B матрица A квадратная

Метод расширенной матрицыСоставим расширенную матрицу системы (A|B). Элементарными преобразованиями строк расширенной

Метод КрамераТеорема Крамера: Пусть матрица СЛУ квадратная и невырожденная. Пусть |Ai|

Элементарные преобразования в СЛУТеорема (о равносильности СЛУ): При любых элементарных преобразованиях

Метод ГауссаПостроим для СЛУ расширенную матрицу.С помощью элементарных преобразований приведем расширенную

Совместность СЛУТеорема Кронекера-Капелли (о совместности СЛУ): СЛУ совместна тогда и только

Базисные переменныеПусть ранг r расширенной матрицы СЛУ меньше числа переменных. В

Базисные решенияЕсли эта матрица невырождена, то выбранные переменные называются основными или

Однородные СЛУОднородная СЛУ всегда совместна (как минимум, имеется нулевое решение).Для существования

Фундаментальные решенияСовокупность линейно независимых решений однородной СЛУ называется фундаментальной, если любое

Похожие презентации