Нормальное распределение. Распределение Гаусса

Сентябрь 14, 2022

Главная
Математика
Нормальное распределение. Распределение Гаусса

Содержание

3. Здесь μ = M(X) - математическое ожидание, σ2 = D(X) - дисперсия, σ = σ(X) –
4. Кривая Гаусса График плотности вероятности нормально распределенной величины носит название кривой Гаусса: x f 0 μ
5. График ее функции распределения – интегральная кривая Гаусса: Интегральная кривая Гаусса F х 1 0
6. Введение нормированной нормальной величины Для определения вероятности попадания нормальной СВ в некоторый интервал требуется вычисление интеграла
7. НОРМИРОВАННАЯ НОРМАЛЬНАЯ ВЕЛИЧИНА Такая нормальная величина называется нормированной и обозначается Т. Свойства Φ (t) Φ(-∞) =
8. Плотность вероятности нормированной нормальной величины
9. Функция распределения нормированной нормальной величины
10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ Φ (t) Приближенные значения Φ (t) для значений аргумента t ≥ 0 вычислены и
11. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ F(X) Значения функции распределения F(х) произвольной нормальной величины можно определить через нормированную путем СПЕЦИАЛЬНОЙ
12. Вероятность попадания значений нормальной величины в произвольный интервал Для любой нормальной величины формула имеет следующий вид:
13. ПРАВИЛО ТРЕХ СИГМ Вероятность того, что значения нормальной величины распределятся в окрестности ε (« эпсилон »)
15. ε = σ Чем больше окрестность ε, тем выше вероятность попадания в нее значений величины Х.
16. ε = 2σ, ε = 3σ 2) ε = 2σ. Аналогичный расчет дает вероятность 0,9544 (или
18. Скачать презентацию

Слайд 2

Слайд 3

Здесь
μ = M(X) - математическое ожидание,
σ2 = D(X) - дисперсия,
σ =

σ(X) – среднеквадрати-ческое отклонение Х.

НОРМАЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННАЯ ВЕЛИЧИНА
ПОЛНОСТЬЮ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ
СВОИМИ
μ и σ2.

Слайд 4

Кривая Гаусса

График плотности вероятности
нормально распределенной величины
носит название
кривой

Гаусса:

x

f

0

μ

1
σ √2π

Слайд 5

График ее функции распределения –
интегральная кривая Гаусса:
Интегральная кривая Гаусса
F
х
1
0

Слайд 6

Введение нормированной нормальной величины
Для определения вероятности попадания нормальной СВ в некоторый

интервал
требуется вычисление интеграла от f(x),
а этот интеграл не вычисляется в элементарных функциях.
Поэтому ИЗ бесконечного множества
нормальных величин
с разными μ и σ выделяют одну,
у которой
μ = 0, σ = 1.

Слайд 7

НОРМИРОВАННАЯ НОРМАЛЬНАЯ ВЕЛИЧИНА
Такая нормальная величина называется нормированной и обозначается
Т.
Свойства Φ (t)
Φ(-∞)

= 0, Φ(∞) = 1
Φ(0) = 0,5
*) Φ (- t) = 1 - Φ (t)

Слайд 8

Плотность вероятности нормированной нормальной величины

Слайд 9

Функция распределения нормированной нормальной величины

Слайд 10

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ Φ (t)
Приближенные значения Φ (t) для значений аргумента

t ≥ 0 вычислены и указаны в специальной таблице
("табулированы").

Для t < 0 значения Φ определяются, исходя из указанного выше свойства *).
Так, Φ (-1) = 1 – Φ (1);
Φ (1) находим по таблице и подставляем в формулу.

Слайд 11

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ F(X)
Значения функции распределения F(х)
произвольной нормальной величины
можно определить через
нормированную

путем
СПЕЦИАЛЬНОЙ
ЗАМЕНЫ
ПЕРЕМЕННОЙ:

x - μ
t =
σ

Слайд 12

Вероятность попадания значений нормальной величины в произвольный интервал
Для любой нормальной величины
формула

имеет следующий вид:
P(aЗначения Φ находятся по таблице нормального распределения.

Слайд 13

ПРАВИЛО ТРЕХ СИГМ
Вероятность того,
что значения нормальной величины
распределятся в окрестности ε
(« эпсилон

»)
ее математического ожидания,
вычисляется по формуле:

Слайд 14

Слайд 15

ε = σ
Чем больше окрестность ε,
тем выше вероятность попадания

в нее
значений
величины Х.
Найдем эту вероятность при значениях ε,
кратных σ.

Пусть ε = σ.
Тогда в правой части формулы получим:
2 Φ (1) - 1 =
=2 ∙ 0, 8413 -1 =
= 0, 6826
(или 68, 26%).

Слайд 16

ε = 2σ, ε = 3σ
2) ε = 2σ.
Аналогичный расчет

дает вероятность
0,9544
(или 95,44%).
3)ε = 3σ.
Искомая вероятность -
0,9972
(или 99,72%) –
близка к 100%).