Операции и алгебры

N-арная операция на множестве М – это функция типа
,
где n

Алгеброй называется множество, вместе с заданной на нем совокупностью операций ,

М – основное (несущее) множество (носитель алгебры) алгебры А.
Тип алгебры –

Множество называется замкнутым относительно
n-арной операции на М, если
,
т. е. если

Если замкнуто относительно
всех операций , алгебры А с носителем М, то

Примеры:

Алгебра – называется полем действительных чисел.
Обе операции бинарные, поэтому тип

Примеры:

Пусть . Определим на операции:
 – «сложение по модулю р»,

Примеры:

Пусть, например, р = 7, тогда
и
, ,
.
Часто обозначают:

Примеры:

Конечным полем характеристики р называется алгебра
если р – простое число.

Пример:

Булеаном U называется множество всех подмножеств множества U (обозначается B(U)).
Булева алгебра

Пример:

Для любого
– является подалгеброй  В.

Пример:

Множество
тогда основное множество алгебры В содержит 16 элементов.
является подалгеброй В.

Свойства бинарных алгебраических операций

Операция φ называется ассоциативной, если для любых элементов

Пример:

1. Сложение и умножение чисел ассоциативны, что позволяет не ставить скобки

Свойства бинарных алгебраических операций

Операция φ называется коммутативной, если для любых элементов

Пример:

1 Сложение чисел коммутативно («от перемены мест слагаемых сумма не меняется»):

Пример:

3 Вычитание и деление – некоммутативные операции.
2. Умножение матриц – некоммутативная

Свойства бинарных алгебраических операций

Операция φ называется дистрибутивной слева относительно операции ψ,

Свойства бинарных алгебраических операций

Операция φ называется дистрибутивной справа относительно операции ψ,

Пример:

1 Умножение дистрибутивно относительно сложения слева и справа

Пример:

2 Возведение в степень дистрибутивно относительно умножения справа.

Пример:

но не слева, так как