Содержание
- 2. Основные вопросы Элементы и множества. Операции над множествами и их свойства. Графы. Элементы графов. Виды графов
- 3. ЭЛЕМЕНТЫ И МНОЖЕСТВА. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ И ИХ СВОЙСТВА.
- 4. «Множество есть многое, мыслимое нами как единое» основатель теории множеств – Георг Кантор (1845—1918) — немецкий
- 5. Понятия теории множеств Понятие множества является одним из наиболее общих и наиболее важных математических понятий. Оно
- 6. С понятием множества мы соприкасаемся прежде всего тогда, когда по какой-либо причине объединяем по некоторому признаку
- 7. Примеры множеств: множество учащихся в данной аудитории; множество людей, живущих на нашей планете в данный момент
- 8. Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают x ∈ Х (∈ — принадлежит). В противном
- 9. Множество четырехугольников Пространственные тела 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11… Квадраты
- 10. Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми множествами.
- 11. Обозначения некоторых числовых множеств: N – множество натуральных чисел; Z – множество целых чисел; Q –
- 12. Способы задания множеств Множество может быть задано перечислением всех его элементов или списком. В этом случае
- 13. Примеры
- 14. Примеры
- 15. Виды множеств:
- 16. Если элементы множества можно сосчитать, то множество является КОНЕЧНЫМ Пример Множество гласных букв в слове “математика”
- 17. Если элементы множества сосчитать невозможно, то множество БЕСКОНЕЧНОЕ Пример Множество натуральных чисел бесконечно. Пример Множество точек
- 18. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется ПУСТЫМ. Символически оно обозначается знаком ∅ Пример Множество действительных
- 19. Мощность множества Число элементов конечного множества называют мощностью этого множества и обозначают символом m (A) или
- 20. Пример . Определите мощность какого из множеств A = {1, 3, 5, 7, 9} или B
- 21. Отношения между множествами Наглядно отношения между множествами изображают при помощи особых чертежей, называемых КРУГАМИ ЭЙЛЕРА (или
- 22. При графическом изображении множеств удобно использовать диаграммы Венна, на которых универсальное множество обычно представляют в виде
- 23. Множество A называется подмножеством множества B, если любой элемент множества A принадлежит множеству B. Эта зависимость
- 24. Свойства множеств Любое множество является подмножеством самого себя (рефлексивность): A⊂ B. Для любых множеств А,В,С справедливо
- 25. Два множества А и В называются равными ( А = В ), если они состоят из
- 26. Количество подмножеств Если мощность множества n, то у этого множества 2n подмножеств. А={1,2} Подмножества А: {∅},
- 27. В={1,3,5} Подмножества В: {∅}, {1}, {3}, {5}, {1,3}, {1,5}, {5,3}, {1,3,5} С={а,и,е,о} Подмножества С: {∅}, {а},
- 28. Операции над множествами Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого
- 29. Например, если А={a,b,c}, B={b,c,f,e}, то А ∩ В = {b} Операции над множествами пересечение
- 30. Операции над множествами
- 31. Объединением (суммой) двух множеств А и В называется множество А В, которое состоит из всех элементов,
- 32. объединение Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6} 1 2 4 А 4
- 33. Операции над множествами
- 34. Разностью множеств А и В называется множество А- В, элементы которого принадлежат множеству А, но не
- 35. разность Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то А\В = {1,2} 1 2 4 А 4 3 5
- 36. Операции над множествами
- 37. Операции над множествами Дополнение множества Часто множества A,B,C … являются подмножествами некоторого более широкого множества U,
- 38. Если А - множество параллелограммов, В- множество трапеций, С - множество ромбов, D - множество прямоугольников,
- 39. Задача. Даны множества Найти: объединение, пересечение, разность.
- 44. Всего 67 Английский 47 Немецкий 35 23 47-23=24 24 35-23=12 12 24+12+23=59 67- 59=8 Задача. На
- 45. Задача. Каждый учащийся в классе изучает английский или французский язык. Английский язык изучают 25 учащихся, французский
- 46. Задача. Каждая семья, живущая в нашем доме, выписывает или газету, или журнал, или и то и
- 47. ГРАФЫ. ЭЛЕМЕНТЫ ГРАФОВ. ВИДЫ ГРАФОВ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
- 48. Теория графов представляет собой раздел математики, имеющий широкие практические приложения. Теория графов – область дискретной математики,
- 49. История возникновения графов Термин "граф" впервые появился в книге венгерского математика Д. Кенига в 1936 г.,
- 50. В основе теории лежит понятие графа. Граф - совокупность конечного числа точек, называемых вершинами графа, и
- 51. СОСТАВ ГРАФА Граф состоит из вершин, связанных линиями. Вершины графа обозначают латинскими буквами A, B, C,
- 52. Ориентированный граф - граф, вершины которого соединены дугами. С помощью таких графов могут быть представлены схемы
- 53. Взвешенный граф Это граф, рёбрам или дугам которого поставлены в соответствие числовые величины (они могут обозначать,
- 54. Две вершины графа называются смежными, если существует инцидентное им ребро: на рисунке смежными являются вершины А
- 55. Если граф G имеет ребро , у которого начало и конец совпадают, то это ребро называется
- 56. Два ребра называются смежными, если они имеют общую вершину. На рисунке смежными являются, например, рёбра х1
- 57. Рёбра, которые начинаются в одной и той же вершине, заканчиваются также в одной и той же
- 58. На рисунке кратными являются, например, рёбра х1(А, В), х2(А, В). Вершинам А и С инцидентны рёбра
- 59. На рисунке вершина А имеет степень, равную 1, вершина С – 4, вершина D – 2.
- 60. E Вершина графа, имеющая степень, равную нулю, называется изолированной. Граф, состоящий из изолированных вершин, называется нуль-графом.
- 61. На рисунке вершины А, В, Е, G, H – висячие. х1 х2 х3 х4 х5 х6
- 62. Теорема 1. В графе сумма степеней всех его вершин – число чётное, равное удвоенному числу рёбер
- 63. Вершина называется чётной (нечётной), если её степень – чётное (нечётное) число. На рисунке deg(D)=2, deg(F)=3, значит
- 64. Теорема 2. Число нечётных вершин любого графа – чётно. Следствие. Невозможно начертить граф с нечётным числом
- 65. Дополнением графа называется граф с теми же вершинами V, что и граф G, и имеющий те
- 66. ПУТИ И МАРШРУТЫ В ГРАФАХ Путем в ориентированном графе называется последовательность дуг, в которой конечная вершина
- 67. В качестве примера рассмотрим орграф, представленный на рисунке. Одним из существующих путей, соединяющих вершины 1 и
- 68. Неориентированный граф называется связным, если существует хотя бы один путь между каждой парой вершин. Орграф называется
- 69. Путь называется замкнутым, если начальная и конечная вершины совпадают. Замкнутый путь называется циклом, если все его
- 70. Последовательность попарно смежных вершин неориентированного графа, т.е. последовательность рёбер неориентированного графа, в которой вторая вершина предыдущего
- 71. На рисунке HCDFD – маршрут длиной 4. Обозначение: |HCDFD|=4. Маршрут принято задавать как последовательность рёбер, поскольку
- 72. В графе на рисунке (t, s, p, r), (u, s, t, r) – циклы длиной 4,
- 73. ОПЕРАЦИИ НАД ГРАФАМИ Объединением графов и называется граф , множество вершин которого , а множество рёбер
- 74. х3 х4 х6 G1 V2 V1 V3 V4 V5 х3 х1 х5 G=G1UG2 х6 х4 х4
- 75. ОБОСНОВАНИЕ ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ КОМБИНАТОРИКИ: ФАКТОРИАЛ, ПЕРЕСТАНОВКИ, РАЗМЕЩЕНИЯ, СОЧЕТАНИЯ.
- 76. Комбинаторикой называется раздел математики, в котором исследуется, сколько различных комбинаций (всевозможных объединений элементов), подчиненных тем или
- 77. В частности, одним из видов комбинаторных задач являются задачи на соединения Виды соединений размещения сочетания перестановки
- 78. Перестановки Множество называется упорядоченным, если каждому элементу этого множества поставлено в соответствие некоторое число (номер элемента)
- 79. Пример 1: В расписании сессии 3 экзамена (история, геометрия, алгебра). Сколько может быть вариантов расписаний? Решение.
- 80. Пример 2 Перестановки множества А={a, b, c} из трёх элементов имеют вид: (a, b, c); (b,
- 81. Перестановки с повторениями Рассматривая перестановки ранее, мы предполагали, что n элементов различны. Если среди n элементов
- 82. Пример 5. Слова и фразы с переставленными буквами называют анаграммами. Сколько анаграмм можно составить из слова
- 83. Размещения Размещением из n элементов по m ( m ≤ n) называется последовательность, состоящая из m
- 84. Решение: Требуется выделить упорядоченные трехэлементные подмножества множества, содержащего 40 элементов, т.е. найти число размещений без повторений
- 85. Решение (обратить внимание на его оформление!) Основное множество: {1, 3, 5, 7, 9} – нечетные цифры
- 86. Размещения с повторениями Размещения с повторениями – соединения, содержащие n элементов, выбираемых из элементов m различных
- 87. Пример 9. В библиотеку, в которой есть много одинаковых учебников по десяти предметам, пришло 5 школьников,
- 88. Сочетания Сочетанием из n элементов по m ( m ≤ n) называется m- элементное подмножество некоторого
- 89. Решение. (обратить внимание на его оформление!) Основное множество: {мак, роза, тюльпан, лилия, гвоздика} ⇒ Соединение –
- 90. Сочетания с повторениями Сочетаниями с повторениями из m по n называют соединения, состоящие из n элементов,
- 91. Сочетания с повторениями Если из множества, содержащего n элементов, выбирается поочередно m элементов, причём выбранный элемент
- 92. Пример 11. Сколько костей находится в обычной игре "домино"? Решение: Кости домино можно рассматривать как сочетания
- 94. Скачать презентацию