Определенный интеграл

Сентябрь 14, 2022

Главная
Математика
Определенный интеграл

Содержание

2. x y 0 a b y = f(x) Криволинейная трапеция- это фигура, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной
3. x y 0 a=x0 b=xn y = f(x) Найдём площадь криволинейной трапеции. 1) Разобъем отрезок [a;b]
4. x y 0 a=x0 b=xn y = f(x) 5) Произведение равно площади прямоугольника с основанием Δxi
5. x y 0 a=x0 b=xn y = f(x) 8) Пусть длина наибольшего из отрезков [ xi-1;xi]:
6. x y 0 a b y = f(x) Геометрический смысл определённого интеграла: определённый интеграл представляет собой
7. - определённый интеграл - подынтегральная функция - подынтегральное выражение х – переменная интегрирования a– нижний предел
8. Свойства определённого интеграла. 10. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла:
9. 20. Определённый интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов, т.е
10. 40. Если функция f(x) интегрируема на [a;b] и a x y 0 a b y =
11. Формула Ньютона-Лейбница знак двойной подстановки
12. Метод непосредственного интегрирования. Пример 1. Вычислить интеграл Ответ. 2
13. Пример 2. Вычислить интеграл Ответ. 4
14. Метод подстановки (метод замены переменной). Теорема. Пусть дан интеграл , где функция f(x) непрерывна на отрезке
15. Если непрерывны на отрезке определена и непрерывна на отрезке то
16. Замечание. 1) При вычислении определённого интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется; 2) Часто
17. Пример 3. Вычислить интеграл Ответ.
18. Пример 4. Вычислить интеграл Ответ.
19. Пример 5. Вычислить интеграл Ответ.
20. Метод интегрирования по частям. Теорема. Если функции u = u(x) и v = v(x) дифференцируемы на
21. Пример 6. Вычислить интеграл
22. Пример 7. Вычислить интеграл
24. Скачать презентацию

Слайд 2

x
y
0
a
b
y = f(x)
Криволинейная трапеция- это фигура, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной функции

f(x), x∈[a;b], параллельными прямыми x=a и x=b и отрезком оси ОХ.

x = a

x = b

Пусть y = f(x) непрерывная функция на отрезке [a;b]

Криволинейная трапеция. Понятие определённого интеграла.

Слайд 3

x
y
0
a=x0
b=xn
y = f(x)
Найдём площадь криволинейной трапеции.
1) Разобъем отрезок [a;b] точками xi

(a = x0

2) Пусть длина отрезка

3) Проведём через точки xi прямые, параллельные оси ОУ.

x1

xi-1

xi

xn-1

4) В каждом отрезке [xi-1;xi] возьмём произвольную точку ξi и вычислим значение функции в ней, т.е. f(ξi)

Слайд 4

x
y
0
a=x0
b=xn
y = f(x)
5) Произведение равно площади прямоугольника с основанием Δxi и

высотой f(ξi).

6) Составим сумму всех таких произведений (интегральная сумма):

x1

xi-1

xi

xn-1

7) Интегральная сумма приближенно равна площади криволинейной трапеции, т.е.

Слайд 5

x
y
0
a=x0
b=xn
y = f(x)
8) Пусть длина наибольшего из отрезков [ xi-1;xi]:
9) При

интегральная сумма имеет предел

x1

xi-1

xi

xn-1

Слайд 6

x
y
0
a
b
y = f(x)
Геометрический смысл определённого интеграла:
определённый интеграл представляет собой площадь криволинейной

трапеции

S

определённый интеграл

Слайд 7

- определённый интеграл
- подынтегральная функция
- подынтегральное выражение
х – переменная интегрирования
a– нижний

предел интегрирования

b– верхний предел интегрирования

пределы интегрирования

Слайд 8

Свойства определённого интеграла.
10. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла:

Слайд 9

20. Определённый интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен

алгебраической сумме их интегралов, т.е

30. При перестановке пределов интегрирования, знак интеграла меняется на противоположный, т.е.

Слайд 10

40. Если функция f(x) интегрируема на [a;b] и a
x
y
0
a
b
y

= f(x)

с

S1

S2

Слайд 11

Формула Ньютона-Лейбница
знак двойной подстановки

Слайд 12

Метод непосредственного интегрирования.
Пример 1. Вычислить интеграл
Ответ. 2

Слайд 13

Пример 2. Вычислить интеграл
Ответ. 4

Слайд 14

Метод подстановки (метод замены переменной).
Теорема.
Пусть дан интеграл
, где функция

f(x)

непрерывна на отрезке [a;b].

Введём новую переменную

Слайд 15

Если
непрерывны на отрезке
определена и непрерывна на отрезке
то

Слайд 16

Замечание.
1) При вычислении определённого интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной

не требуется;

2) Часто вместо подстановки применяют подстановку ;

3) Не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных!

Слайд 17

Пример 3. Вычислить интеграл
Ответ.

Слайд 18

Пример 4. Вычислить интеграл
Ответ.

Слайд 19

Пример 5. Вычислить интеграл

Ответ.

Слайд 20

Метод интегрирования по частям.
Теорема.
Если функции u = u(x) и v =

v(x) дифференцируемы на отрезке [a;b], то имеет место формула

Слайд 21

Пример 6. Вычислить интеграл

Слайд 22

Пример 7. Вычислить интеграл