Логарифмические уравнения. Основные методы их решения

Август 12, 2022

Главная
Математика
Логарифмические уравнения. Основные методы их решения

Содержание

2. Ричард Олдингтон (1892 – 1962гг..) - английский поэт, прозаик, критик «Ничему тому, что важно знать, научить
3. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением. Решение логарифмических
4. Ответ: 4. Пример 3: Ответ: Пример 2: В таких уравнениях нет посторонних корней, поэтому проверка не
5. Способы решения логарифмических уравнений Решение уравнений на основании определения логарифма, например, уравнение loga х = б
6. 2. Метод потенцирования. Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их.
7. Метод потенцирования (с нахождением ОДЗ) log3 (x²-3x-5)=log3 (7-2x) Записать условия, определяющие область допустимых значений (О.Д.З.): f
8. Решение уравнения методом потенцирования log3 (x²-3x-5)=log3 (7-2x) х² -3х-5=7-2х х² –х-12=0 Решим квадратное уравнение х=4, х=-3
9. 3.Метод введения новой переменной(алгоритм) 2log25x+5log5x+2=0 Ввести новую переменную, найти О.Д.З. Решить получившееся уравнение и найти значение
10. Решение уравнения методом введения новой переменной 2log52x+5log5 x+2=0 Получим D=9 y= -2, y= -½ 1) log5
11. Введение новой переменной. Решить уравнение: Решение: ОДЗ: х > 0. Пусть , тогда уравнение примет вид:
12. Пример Ответ: ОДЗ: Пусть тогда Значит, или
13. 4. Метод логарифмирования обеих частей уравнения. Если в показатели степени содержится логарифм, то обе части уравнения
14. 4метод: Решите уравнение = ЗХ , возьмем от обеих частей уравнения логарифм по основанию 3 Вопрос
15. Метод логарифмирования. Пример : Ответ: 3; 27. ОДЗ: Пусть тогда Значит, или
16. 5. Метод приведения логарифмов к одному и тому основанию.
17. Решение уравнений с разными основаниями Опираясь на свойство:
18. Пример : Ответ: ОДЗ: Приведём логарифмы к одному основанию – 7: Подстановка: Уравнение примет вид: Значит,
19. Функционально-графический метод(алгоритм) log2x = -x+1 Ввести функцию f(x),равную левой части и g(x),равную правой части Построить на
20. Решение уравнения функционально-графическим методом Построим график уравнения у = -х+1 у = log2 x Построим график
21. Решите самостоятельно:
23. Скачать презентацию

Слайд 2

Ричард Олдингтон
(1892 – 1962гг..) -
английский поэт, прозаик, критик
«Ничему тому, что

важно знать, научить нельзя, - всё, что может сделать учитель, это указать дорожки»

«Кто говорит – тот сеет, кто слушает – тот собирает».

Русская народная пословица

Слайд 3

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании,

называется логарифмическим уравнением.

Решение логарифмических уравнений на основании определения логарифма.
Определение логарифма:
Пример 1:
Ответ: 16.

Слайд 4

Ответ: 4.
Пример 3:
Ответ:
Пример 2:
В таких уравнениях нет посторонних корней,

поэтому
проверка не требуется.

Слайд 5

Способы решения логарифмических уравнений
Решение уравнений на основании определения логарифма, например, уравнение

loga х = б (а > 0, а≠ 1, б>0 ) имеет решение х = аb.
Метод потенцирования. Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их: если , loga f(х) = loga g(х), то f(х) = g(х), f(х)>0, g(х)>0 , а > 0, а≠ 1.
Метод введение новой переменной.
Метод логарифмирования обеих частей уравнения.
Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию.
Функционально – графический метод.

Слайд 6

2. Метод потенцирования.
Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к

равенству, не содержащему их.

где

Пример :

Проверка:

Ответ: 1.

- верно

- не верно

В таких уравнениях обязательна проверка или нахождение ОДЗ.

Слайд 7

Метод потенцирования (с нахождением ОДЗ)
log3 (x²-3x-5)=log3 (7-2x)
Записать условия, определяющие

область допустимых значений (О.Д.З.): f (x)>0, g (x)>0
Перейти от уравнения logа f (x)=logа g (x)
к уравнению f (x)=g (x)
Решить полученное уравнение
Проверить полученные корни по условиям, определяющим область допустимых значений переменной (О.Д.З.).
Те корни уравнения, которые удовлетворяют этим условиям, являются корнями логарифмического уравнения. Те корни уравнения, которые не удовлетворяют хотя бы одному из этих условий, объявляются посторонними корнями логарифмического уравнения.
Записать ответ

Слайд 8

Решение уравнения методом потенцирования
log3 (x²-3x-5)=log3 (7-2x)
х² -3х-5=7-2х
х² –х-12=0
Решим
квадратное
уравнение
х=4, х=-3
Проверим корни по

условиям

Удовлетворяет обоим неравенствам

Ответ
х = -3

Х = 4
Х= - 3

Найдём О.Д.З.

Не удовлетворяет
второму неравенству
системы

Слайд 9

3.Метод введения новой переменной(алгоритм)

2log25x+5log5x+2=0
Ввести новую переменную, найти О.Д.З.
Решить получившееся

уравнение и найти значение новой переменной
Сделать подстановку найденного значения новой переменной и вычислить неизвестную переменную
Записать ответ

Слайд 10

Решение уравнения методом введения новой переменной
2log52x+5log5 x+2=0
Получим
D=9
y= -2,
y= -½
1)

log5 x= -2,
x=1/25
2) log5 x= -½,
X=1/√5

Ответ

Введем новую
переменную
y = log5x, х>0

Сделать подстановку
найденного значения
переменной у и вычислить
значение переменной х

2у2+5у+2=0

Решим квадратное
уравнение
x=1/25
X=1/√5

Слайд 11

Введение новой переменной.
Решить уравнение:
Решение: ОДЗ: х > 0.
Пусть , тогда уравнение

примет вид:
Дискриминант D > 0. Корни по теореме Виета:
Вернемся к замене: или
Решив простейшие логарифмические уравнения, получим:
Ответ: 27;

Слайд 12

Пример

Ответ:
ОДЗ:
Пусть
тогда
Значит,
или

Слайд 13

4. Метод логарифмирования обеих частей уравнения.
Если в показатели степени содержится

логарифм, то обе части уравнения логарифмируют по тому основанию, которое содержится в основании логарифма, находящегося в показателе степени.

Слайд 14

4метод:
Решите уравнение
= ЗХ , возьмем от обеих частей уравнения логарифм

по основанию 3
Вопрос :
1.Это – равносильное преобразования ?
2.Если да то почему ?
Получим
log3 = log3 (3х)
.
Учитывая теорему 3 , получаем : log3 х2 log3 х = log3 3х,
2log3 х log3 х = log3 3+ log3 х,
2 log32 х = log3 х +1,
2 log32 х - log3 х -1=0,
заменим log3 х = t , х >0 2 t 2 - t -1 =0 ; Д = 9 ; t1 =1 , t2 = -1/2
log3 х = 1 , х=3,
log3 х = -1/ 2 , х= 1/√3. Ответ: 3 ; 1/√3.

Слайд 15

Метод логарифмирования.
Пример :

Ответ: 3; 27.
ОДЗ:
Пусть

тогда

Значит,

или

Слайд 16

5. Метод приведения логарифмов к одному и тому основанию.

Слайд 17

Решение уравнений с разными основаниями
Опираясь на свойство:

Слайд 18

Пример :

Ответ:
ОДЗ:
Приведём логарифмы к одному основанию –

Подстановка:

Уравнение примет вид:

Значит,

или

Слайд 19

Функционально-графический метод(алгоритм)
log2x = -x+1
Ввести функцию f(x),равную левой части и g(x),равную

правой части
Построить на одной координатной плоскости графики функций y=f(x) и y=g(x)
Определить точки пересечения графиков
Найти абсциссы точек пересечения – это и есть корни уравнения
Записать ответ

Слайд 20

Решение уравнения функционально-графическим методом
Построим
график уравнения
у = -х+1
у = log2

Построим
график уравнения

log2 x= -х+1

Решим уравнение
графически

y = log 2 x

у = -х+1

Ответ: х=1

Слайд 21

Логарифмические уравнения. Основные методы их решения

Содержание

Ричард Олдингтон (1892 – 1962гг..) -английский поэт, прозаик, критик«Ничему тому, что

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании,

Ответ: 4.Пример 3: Ответ:Пример 2: В таких уравнениях нет посторонних корней,

Способы решения логарифмических уравнений Решение уравнений на основании определения логарифма, например, уравнение

2. Метод потенцирования.Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к

Метод потенцирования (с нахождением ОДЗ) log3 (x²-3x-5)=log3 (7-2x) Записать условия, определяющие

Решение уравнения методом потенцированияlog3 (x²-3x-5)=log3 (7-2x)х² -3х-5=7-2хх² –х-12=0Решимквадратноеуравнениех=4, х=-3Проверим корни по

3.Метод введения новой переменной(алгоритм) 2log25x+5log5x+2=0Ввести новую переменную, найти О.Д.З.Решить получившееся

Решение уравнения методом введения новой переменной2log52x+5log5 x+2=0ПолучимD=9 y= -2, y= -½1)

Введение новой переменной.Решить уравнение:Решение: ОДЗ: х > 0.Пусть , тогда уравнение

Пример Ответ: ОДЗ:Пусть тогда Значит,или

4. Метод логарифмирования обеих частей уравнения. Если в показатели степени содержится

4метод: Решите уравнение = ЗХ , возьмем от обеих частей уравнения логарифм

Метод логарифмирования.Пример : Ответ: 3; 27. ОДЗ:Пусть