Перпендикулярные прямые в пространстве

Сентябрь 11, 2022

Главная
Математика
Перпендикулярные прямые в пространстве

Содержание

2. Перпендикулярные прямые в пространстве Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикуляр-ными), если угол между ними
3. Перпендикулярные прямые в пространстве Теорема. Если две пересекающиеся прямые в пространстве параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым,
4. Перпендикулярность прямой и плоскости Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей
5. Свойства : 1. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна другой прямой.
6. Свойства : 4 Если две различные плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то эти плоскости
7. Перпендикуляр и наклонная Перпендикуляр, опущенный из данной точки на плоскость, - отрезок, лежащий на прямой, проходящей
8. Перпендикуляр и наклонная Конец отрезка, лежащий на плоскости, называют основанием наклонной. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и
9. Перпендикуляр и наклонная. 3. Если из одной точки к одной плоскости проведены перпендикуляр и две наклонные,
10. Перпендикуляр и наклонная. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на
11. Теорема о трех перпендикулярах Если прямая, проведенная на плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна наклонной
12. Теорема о трех перпендикулярах Доказательство: 1)АВ- перпендикуляр, 2) Проводим СА´║АВ. ( по свойству перпендикулярных прямой и
13. Задача Т.е. расстояния от S до сторон треугольника равны Через центр вписанной в треугольник окружности проведена
14. Перпендикулярность двух плоскостей Перпендикулярные плоскости – две пересекающиеся плоскости, для которых выполняется условие, что третья плоскость,
15. Признак перпендикулярности плоскостей Если прямая, лежащая в одной плоскости, перпендикулярна другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны
16. Свойства перпендикулярных плоскостей 1.Любая плоскость, перпендикуляр-ная прямой пересечения перпенди-кулярных плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым. (если
17. 3. Через любую точку прост-ранства можно провести плоскость, перпендикулярную данной плоскости 4 Две плоскости, перпендику-лярные третьей
18. 5. Три попарно перпендику-лярные плоскости пересе-каются по трем перпенди-кулярным прямым (eсли α ⊥β, β ⊥ y,
19. Двугранный угол – фигура, образованная прямой a и двумя полуплоскостями с общей границей a, не принадлежащими
20. Двугранные углы. Линейный угол двугранного угла – угол, являющийся разрезом этого двугранного угла плоскостью, перпендикулярной ребру
21. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называют отрезок
23. Скачать презентацию

Слайд 2

Перпендикулярные прямые в пространстве
Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикуляр-ными),

если угол между ними равен 90°.
Обозначается a ┴ b
Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.

Слайд 3

Перпендикулярные прямые в пространстве
Теорема.
Если две пересекающиеся прямые в пространстве параллельны соответственно

двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны.

Через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.

Слайд 4

Перпендикулярность прямой и плоскости
Прямая называется перпендикулярной
к плоскости, если

она перпендикулярна
к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Прямая a, перпендикулярная
плоскости α (a⊥α), означает,
что a ⊥b, a ⊥c, где b ⊂ α, c ⊂ α.

Слайд 5

Свойства :
1. Если плоскость перпендикулярна одной
из двух параллельных прямых,

то она перпендикулярна другой
прямой. (a ⊥ α b и a II b => b ⊥ α)
2 Если две прямые перпендикулярны
одной и той же плоскости,
то они параллельны. (a ⊥ α и b ⊥ α => a II b)
3 Если прямая перпендикулярна
одной из двух параллельных
плоскостей, то она перпендикулярна
и другой плоскости. (α II β и a ⊥ α => a ⊥ β)

Слайд 6

Свойства :
4 Если две различные плоскости
перпендикулярны одной и той же

прямой,
то эти плоскости параллельны.
(a ⊥ α и a ⊥ β => a II β)
5 Через любую точку пространства можно
провести прямую, перпендикулярную
данной плоскости, и притом только одну.
6 Через любую точку прямой можно
провести плоскость, перпендикулярную ей
и притом только одну.

Слайд 7

Перпендикуляр и наклонная
Перпендикуляр, опущенный из данной точки на плоскость, -

отрезок, лежащий на прямой, проходящей через эту точку перпендикулярно плоскости, соединяющий данную точку с точкой плоскости.
Конец этого отрезка, лежащий на плоскости, называют основанием перпендикуляра.

Наклонная, проведенная из данной точки к плоскости, - любой отрезок, соединяющей данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости.

Слайд 8

Перпендикуляр и наклонная
Конец отрезка, лежащий на плоскости, называют основанием наклонной.
Отрезок,

соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.
Свойства:
1 Перпендикуляр короче наклонной, проведенной из одной точки AO2. Из данной точки, не лежащей на плоскости, можно провести только один перпендикуляр к плоскости и бесконечное множество наклонных.

Слайд 9

Перпендикуляр и наклонная.
3. Если из одной точки к одной
плоскости

проведены перпендикуляр и две наклонные, то:
- равные наклонные имеют равные проекции (если AB=AC, то BO=CO);
Если проекции наклонных равны, то сами наклонные равны (если BO= CO, то AB=AC);

Большая наклонная имеет большую проекцию (если AB>AC, то BO>CO);
Из двух наклонных больше та, которая имеет большую проекцию (если BO>CO, то AB>AC).

Слайд 10

Перпендикуляр и наклонная.
Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра,

опущенного из этой точки на плоскость.

AO – расстояние от точки A до плоскости α.

Слайд 11

Теорема о трех перпендикулярах
Если прямая, проведенная на плоскости, перпендикулярна проекции наклонной,

то она перпендикулярна наклонной (если a ⊥ BO, то a ⊥ AB).
Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и
проекции наклонной
(если a ⊥ AB, то ⊥ BO).

Слайд 12

Теорема о трех перпендикулярах
Доказательство:
1)АВ- перпендикуляр,
2) Проводим СА´║АВ.
( по свойству перпендикулярных

прямой и плоскости)

3) АВ и А´С определяют

(признак перпендикулярности прямой и плоскости)

Если

то

следовательно

6)Аналогично, если

следовательно

АС- наклонная,

Слайд 13

Задача
Т.е. расстояния от S до сторон треугольника равны
Через центр вписанной

в треугольник окружности
проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Доказать, что каждая точка этой прямой равноудалена от сторон треугольника.

Решение:

1)А,В,С- точки касания сторон треугольника с окружностью,

то по теореме о трех перпендикулярах: SА- перпендикуляр к этой стороне

О- центр окружности,

S- точка на перпендикуляре

2) Так как радиус ОА перпендикулярен стороне треугольника,

3)По теореме Пифагора:

где r-радиус вписанной окружности

Слайд 14

Перпендикулярность двух плоскостей
Перпендикулярные плоскости – две пересекающиеся плоскости, для которых

выполняется условие, что третья плоскость, перпендикулярная линии их пересечения, пересекает их по перпендикуляр-ным прямым.

Плоскости α и β перпендику-лярны (α ⊥β), если плоскость Υ ⊥ c, Υ пересека-ет α и β по взаимноперпен-дикулярным прямым a и b,
(a ⊥ b).

Слайд 15

Признак перпендикулярности плоскостей
Если прямая, лежащая в одной плоскости, перпендикулярна другой плоскости,

то эти плоскости перпендикулярны
(если a ⊂ α, a ⊥ β, то α ⊥ β).

Слайд 16

Свойства перпендикулярных плоскостей
1.Любая плоскость, перпендикуляр-ная прямой пересечения перпенди-кулярных плоскостей, пересекает их

по перпендикулярным прямым.
(если α∩β=c, α ⊥β, α∩Υ=a, γ∩β=b и γ ⊥ c, то a ⊥b)
2. Если прямая лежащая в одной из
двух перпендикулярных плоскостей,
перпендикулярна прямой их пересече-ния, то она перпендикулярна и другой плоскости.
(если α ⊥β, α ∩β=b, a€α и a ⊥b,
то a ⊥ β)

Слайд 17

3. Через любую точку прост-ранства можно провести
плоскость, перпендикулярную данной плоскости
4

Две плоскости, перпендику-лярные третьей плоскости, или параллельны, или пересекаются по прямой, перпендикулярной третьей плоскости.

Свойства перпендикулярных плоскостей

Слайд 18

5. Три попарно перпендику-лярные плоскости пересе-каются по трем перпенди-кулярным прямым (eсли

α ⊥β, β ⊥ y, y ⊥ α, То a ⊥ b, b ⊥ c, a ⊥ c)

Свойства перпендикулярных плоскостей

6 .Через данную прямую некоторой плоскости можно провести плоскость, перпендикулярную данной плоскости.

Слайд 19

Двугранный угол – фигура, образованная прямой a и двумя полуплоскостями с

общей границей a, не принадлежащими одной плоскости.
Полуплоскости называются гранями, а прямая, их ограничиваю-щая, - ребром двугранного угла.

Двугранные углы.

α и β – грани двугранного угла
a – ребро двугранного угла

Слайд 20

Двугранные углы.
Линейный угол двугранного угла – угол, являющийся разрезом этого

двугранного угла плоскостью, перпендикулярной ребру (угол между двумя перпендикулярами к ребру двугранного угла, лежащими на гранях двугранного угла и имеющими на ребре общее начало).

Мера двугранного угла – мера соответствующего ему линейного угла.
Мера двугранного угла находится в переделах от 0 до 180 градусов.

Слайд 21

Расстоянием между
скрещивающимися прямыми
называется длина их
общего перпендикуляра
Общим перпендикуляром двух

скрещивающихся прямых называют отрезок с концами на этих прямых, являющийся перпендикуляром к каждой из них.

Утверждение: две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом только один. Он является общим перпендикуляром параллельных плоскостей, проходящих через эти прямые.

Перпендикулярные прямые в пространстве

Содержание

Перпендикулярные прямые в пространствеДве прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикуляр-ными),

Перпендикулярные прямые в пространствеТеорема.Если две пересекающиеся прямые в пространстве параллельны соответственно

Перпендикулярность прямой и плоскости Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если

Свойства : 1. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых,

Свойства :4 Если две различные плоскости перпендикулярны одной и той же

Перпендикуляр и наклонная Перпендикуляр, опущенный из данной точки на плоскость, -

Перпендикуляр и наклоннаяКонец отрезка, лежащий на плоскости, называют основанием наклонной. Отрезок,

Перпендикуляр и наклонная. 3. Если из одной точки к одной плоскости

Перпендикуляр и наклонная. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра,

Теорема о трех перпендикулярахЕсли прямая, проведенная на плоскости, перпендикулярна проекции наклонной,

Теорема о трех перпендикулярахДоказательство:1)АВ- перпендикуляр, 2) Проводим СА´║АВ.( по свойству перпендикулярных

Задача Т.е. расстояния от S до сторон треугольника равныЧерез центр вписанной

Перпендикулярность двух плоскостей Перпендикулярные плоскости – две пересекающиеся плоскости, для которых

Признак перпендикулярности плоскостейЕсли прямая, лежащая в одной плоскости, перпендикулярна другой плоскости,

Свойства перпендикулярных плоскостей1.Любая плоскость, перпендикуляр-ная прямой пересечения перпенди-кулярных плоскостей, пересекает их

3. Через любую точку прост-ранства можно провести плоскость, перпендикулярную данной плоскости4