Первообразная и интеграл

Сентябрь 3, 2022

Главная
Математика
Первообразная и интеграл

Содержание

2. Определение первообразной. Функция F называется первообразной для функции f на заданном промежутке, если для всех х
3. Основное свойство первообразной Задача интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все ее первообразные.
4. Справедлива следующая теорема (основное свойство первообразных): Теорема. Любая первообразная для функции f на промежутке I может
5. Геометрический смысл первообразной Основному свойству первообразной можно придать геометрический смысл: графики любых двух первообразных для функции
6. Таблица первообразных
7. Правила вычисления первообразных Правило 1 Если F есть первообразная для f, a G — первообразная для
8. Правило 2. Если F есть первообразная для f, a k — постоянная, то функция kF —
9. Криволинейная трапеция Пусть на отрезке [а; b] оси Ох задана непрерывная функция f, не меняющая на
10. Различные виды криволинейных трапеций
11. Для вычисления площадей криволинейных трапеций применяют следующую теорему: Теорема. Если f — непрерывная и неотрицательная на
12. Интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Рассмотрим другой подход к задаче вычисления площади криволинейной трапеции. Для простоты будем считать
14. Разобьем отрезок [а; b] на n отрезков одинаковой длины точками x0 = а
15. а сумма площадей всех таких прямоугольников (рис. 1) равна: В силу непрерывности функции f объединение построенных
16. Поэтому возникает предположение, что Sn≈S при больших n. (Коротко говорят: «Sn стремится к S при n,
17. Это число называют (по пределению) интегралом функции f от а до b и обозначают , т.е.
18. Итак, если f(х)≥0 на отрезке [а; b] то площадь S соответствующей криволинейной трапеции выражается формулой
20. Скачать презентацию

Слайд 2

Определение первообразной.
Функция F называется первообразной для функции f на заданном

промежутке, если для всех х из этого промежутка

Слайд 3

Основное свойство первообразной
Задача интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции

найти все ее первообразные. При решении этой задачи важную роль играет следующее утверждение: Признак постоянства функции.
Если F'(х) = 0 на некотором промежутке I,
то функция F — постоянная на этом промежутке. Все первообразные функции f можно записать с помощью одной формулы, которую называют общим видом первообразных для функции f.

Слайд 4

Справедлива следующая теорема (основное свойство первообразных):
Теорема. Любая первообразная для

функции f на промежутке I может быть записана в виде
F(x)+C,
где F (х) — одна из первообразных для функ-ции f (x) на промежутке I,
С — произвольная постоянная.

Слайд 5

Геометрический смысл первообразной
Основному свойству первообразной можно придать геометрический смысл:
графики любых двух

первообразных для функции f получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Оу (рис.).

Слайд 6

Таблица первообразных

Слайд 7

Правила вычисления первообразных
Правило 1 Если F есть первообразная для f, a

G — первообразная для g, то F+G есть первообразная для f+g.
(F+G)'=F'+G'=f+g

Слайд 8

Правило 2. Если F есть первообразная для f, a k

— постоянная, то функция kF — первообразная для kf. (kF)'=kF'=kf.
Правило 3. Если F (х) есть первообразная для f (x), a k и b — постоянные, причем k≠0, то есть первообразная для f
(kx+b).

Слайд 9

Криволинейная трапеция
Пусть на отрезке [а; b] оси Ох задана непрерывная функция

f, не меняющая на нем знака. Фигуру, ограниченную графиком этой функции, отрезком [а; b] и прямыми х = а и х = b (рис. 1), называют криволинейной трапецией.

Слайд 10

Различные виды криволинейных трапеций

Слайд 11

Для вычисления площадей криволинейных трапеций применяют следующую теорему:
Теорема. Если f —

непрерывная и неотрицательная на отрезке [а; b] функция, a F — ее первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции) равна приращению первообразной на отрезке
[а; b] т. е.
S=F(b)-F(a).

Слайд 12

Интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.
Рассмотрим другой подход к задаче вычисления площади криволинейной

трапеции. Для простоты будем считать функцию f неотрицательной и непрерывной на отрезке [а; b] тогда площадь S соответствующей криволинейной трапеции можно приближенно подсчитать следующим образом.

Слайд 13

Слайд 14

Разобьем отрезок [а; b] на n отрезков одинаковой длины точками

x0 = а

Слайд 15

а сумма площадей всех таких прямоугольников (рис. 1) равна:
В силу

непрерывности функции f объединение построенных прямоугольников при большом n, т. е. при малом Δx, «почти совпадает» с интересующей нас криволинейной трапецией.

Слайд 16

Поэтому возникает предположение, что Sn≈S при больших n. (Коротко говорят:

«Sn стремится к S при n, стремящемся к бесконечности»— и пишут: Sn→S при n→∞.) Предположение это правильно. Более того, для любой непрерывной на отрезке [а; b] функции а (не обязательно неотрицательной) Sn при n→∞ стремится к некоторому числу.

Слайд 17

Это число называют (по пределению) интегралом функции f от а до

b и обозначают , т.е.
при n→∞ (1 ) (читается: «Интеграл от а до b эф от икс дэ икс»). Числа а и b называются пределами интегрирования: а — нижним пределом, b — верхним. Знак называют знаком интеграла.
Функция f называется подынтегральной функцией, а переменная х — переменной интегрирования.

Слайд 18

Итак, если f(х)≥0 на отрезке [а; b] то площадь S

соответствующей криволинейной трапеции выражается формулой

Первообразная и интеграл

Содержание

Определение первообразной. Функция F называется первообразной для функции f на заданном

Основное свойство первообразнойЗадача интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции

Справедлива следующая теорема (основное свойство первообразных): Теорема. Любая первообразная для

Геометрический смысл первообразнойОсновному свойству первообразной можно придать геометрический смысл: графики любых двух