Понятие матрицы

Август 4, 2022

Главная
Математика
Понятие матрицы

Содержание

2. 1. Матрицы
3. Понятие матрицы Числовой матрицей размера m x n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и
4. Виды матриц Матрица, все элементы которой равны 0, называется нулевой матрицей. Матрица, состоящая только из одной
5. Диагональ матрицы Элементы квадратной матрицы вида aii называются диагональными. Совокупность всех диагональных элементов называется главной диагональю
6. Треугольные и симметричные матрицы Квадратная матрица, все элементы которой ниже (или выше) диагонали равны 0, называется
7. Умножение числа на матрицу Над матрицами можно проводить некоторые арифметические операции. Умножение числа на матрицу. Произведением
8. Сложение и вычитание матриц Матрицы одинакового размера можно складывать и вычитать. Сложение матриц. Суммой матриц A
9. Умножение матриц Матрицы можно умножать, если количество столбцов первой матрицы совпадает с количеством строк второй матрицы.
10. Умножение матриц Замечание 1: Если матрица A имеет размер m x n, а матрица B имеет
11. Умножение матриц Замечание 3: Умножение квадратной матрицы на единичную не меняет первой, т.е. A·E = E·A
12. Возведение матрицы в степень Возведение матрицы A в целую положительную степень k сводится к произведению k
13. Транспонирование Операция транспонирования матрицы является переходом к матрице, у которой строки и столбцы меняются местами. Транспонированная
14. Свойства транспонирования (AT)T = A (k·A)T = k·AT (A + B)T = AT + BT (A·B)T
15. Свойства сложения и умножения A + B = B + A (A + B) + C
16. Определитель С каждой квадратной матрицей можно связать некоторое число, вводимое по определенному правилу, которое отражает некоторые
17. Определитель матрицы порядка 2 Для определителя матрицы второго порядка примем следующую формулу: Для определителя матрицы третьего
18. Миноры Для введения формулы определителя матрицы произвольного порядка сначала введем понятие минора. Минором элемента aij квадратной
19. Определитель произвольного порядка Определителем квадратной матрицы A порядка n называется сумма произведений элементов первой строки матрицы
20. Определитель произвольного порядка Теорема (разложение определителя по строке/столбцу): Определитель квадратной матрицы A порядка n равен сумме
21. Свойства определителей Определитель с нулевой строкой или нулевым столбцом равен 0. Умножение определителя на число равносильно
22. Свойства определителей Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен 0. Определитель, содержащий две пропорциональные строки
23. Свойства определителей Представим матрицу A как набор строк: Представим i-ю строку матрицы как сумму двух строк
24. Свойства определителей Определитель не изменится, если к элементам одной строки прибавить элементы другой строки, умноженные на
25. Обратная матрица Матрица, определитель которой равен 0, называется вырожденной. Квадратная матрица A–1 называется обратной к квадратной
26. Свойства обратных матриц (A–1)–1 = A. (A–1)T = (AT)–1. (A–1)k = (Ak)–1. |A–1| =1/|A|. (AB)–1 =
27. Обратная матрица Транспонированная матрица, построенная из алгебраических дополнений элементов матрицы A, называется присоединенной матрицей AP. Теорема
28. Элементарные преобразования Назовем элементарными преобразованиями матрицы A следующие преобразования: Перестановка местами двух строк (столбцов). Умножение строки
29. Построение обратной Замечание: Ни одно из элементарных преобразований не может превратить невырожденную матрицу в вырожденную. Теорема:
30. Алгоритм построения обратной Составим из матрицы A новую расширенную матрицу, дописав справа единичную: (A|E). Применим к
31. Ранг матрицы Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Ранг матрицы A
32. Свойства ранга Ранг нулевой матрицы равен нулю. Ранг матрицы A размера m x n не превосходит
33. Ступенчатая матрица Главным элементом строки матрицы называется ее первый ненулевой элемент. Матрица называется ступенчатой, если главный
34. Вычисление ранга Теорема (о ранге матрицы): Элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы. Таким образом, для вычисления
35. Линейная зависимость Пусть e1 = (a11 a12 … a1n), …, em = (am1 am2 … amn)
36. Линейная зависимость Теорема (о линейной комбинации строк матрицы): Строки матрицы линейно зависимы тогда и только тогда,
37. Базисный минор Минор матрицы называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры большего порядка
39. Скачать презентацию

Слайд 2

1. Матрицы

Слайд 3

Понятие матрицы
Числовой матрицей размера m x n называется прямоугольная таблица чисел,

содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами. Через aij обозначается элемент, находящийся в i-й строке и j-м столбце.
В кратком виде такую матрицу записывают A = (aij).

Слайд 4

Виды матриц
Матрица, все элементы которой равны 0, называется нулевой матрицей.
Матрица, состоящая

только из одной строки, называется матрицей-строкой или вектором-строкой.
Матрица, состоящая только из одного столбца, называется матрицей-столбцом или вектором-столбцом.
Матрица называется квадратной n-го порядка, если число строк и число столбцов равны n.

Слайд 5

Диагональ матрицы
Элементы квадратной матрицы вида aii называются диагональными. Совокупность всех диагональных

элементов называется главной диагональю матрицы.
Совокупность элементов квадратной матрицы порядка n вида ai n+1-i называется побочной диагональю.
Если все недиагональные элементы матрицы равны 0, то матрица называется диагональной.
Диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны 1, называется единичной и обозначается E.

Слайд 6

Треугольные и симметричные матрицы
Квадратная матрица, все элементы которой ниже (или выше)

диагонали равны 0, называется треугольной.
При этом матрица с нулями ниже диагонали называется верхней треугольной, а с нулями выше диагонали называется нижней треугольной.
Квадратная матрица называется симметричной, если для всех ее элементов верно свойство: aij = aji.

Слайд 7

Умножение числа на матрицу
Над матрицами можно проводить некоторые арифметические операции.
Умножение числа

на матрицу. Произведением числа k на матрицу A называется матрица, элементы которой получены умножением всех элементов матрицы A на число k. Другими словами, k·A = (k·aij).
Можно провести и обратную операцию, вынеся общий множитель всех элементов за матрицу.

Слайд 8

Сложение и вычитание матриц
Матрицы одинакового размера можно складывать и вычитать.
Сложение матриц.

Суммой матриц A и B называется матрица, элементы которой являются суммой соответствующих элементов этих матриц. Другими словами, A + B = (aij + bij).
Вычитание матриц. Разностью матриц A и B называется матрица, элементы которой являются разностью соответствующих элементов этих матриц. Другими словами, A – B = (aij – bij) = A + (–1)·B.

Слайд 9

Умножение матриц
Матрицы можно умножать, если количество столбцов первой матрицы совпадает с

количеством строк второй матрицы.
Умножение матриц. Произведением матриц A и B называется матрица, в которой элемент, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца, равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B.
Другими словами, если A·B = C, то

Слайд 10

Умножение матриц
Замечание 1: Если матрица A имеет размер m x n,

а матрица B имеет размер n x k, то матрица A·B имеет размер m x k.
Замечание 2: Произведение матриц не является коммутативной операцией.
Т.е. если произведение A·B существует, то произведение B·A может не существовать.
Если произведения A·B и B·A существуют, то они могут быть матрицами разных размеров.
Если матрицы A и B квадратные, то произведения A·B и B·A существуют и имеют одинаковый размер, но в общем случае A·B ≠ B·A.

Слайд 11

Умножение матриц
Замечание 3: Умножение квадратной матрицы на единичную не меняет первой,

т.е. A·E = E·A = A.
Замечание 4: Произведение двух ненулевых матриц может дать нулевую матрицу.

Слайд 12

Возведение матрицы в степень
Возведение матрицы A в целую положительную степень k

сводится к произведению k одинаковых матриц A.
Дополнительно полагаем A0 = E, A1 = A.
Замечание 1: Возведение в степень ненулевой матрицы может дать нулевую матрицу.
Замечание 2: Возведение в степень определено только для квадратных матриц.

Слайд 13

Транспонирование
Операция транспонирования матрицы является переходом к матрице, у которой строки и

столбцы меняются местами.
Транспонированная матрица A обозначается AT.
Замечание: Если матрица A имеет размер m x n, то матрица AT имеет размер n x m.

Слайд 14

Свойства транспонирования
(AT)T = A
(k·A)T = k·AT
(A + B)T = AT +

BT
(A·B)T = BT·AT

Слайд 15

Свойства сложения и умножения
A + B = B + A
(A +

B) + C = A + (B + C)
k·(A + B) = k·A + k·B
A·(B + C) = A·B + B·C
(A + B)·C = A·C + B·C
(A·B)·C = A·(B·C)
k·(A·B) = (k·A)·B = A·(k·B)

Слайд 16

Определитель
С каждой квадратной матрицей можно связать некоторое число, вводимое по определенному

правилу, которое отражает некоторые свойства матрицы и называется определителем.
Определитель матрицы A обозначается |A|.
Квадратная матрица первого порядка состоит из одного единственного числа. Определителем квадратной матрицы порядка 1 назовем это самое число.
Т.о. |a11| = a11.

Слайд 17

Определитель матрицы порядка 2
Для определителя матрицы второго порядка примем следующую формулу:
Для

определителя матрицы третьего порядка примем следующую формулу:

Слайд 18

Миноры
Для введения формулы определителя матрицы произвольного порядка сначала введем понятие минора.
Минором

элемента aij квадратной матрицы A называется определитель матрицы, полученной вычеркиванием из матрицы A i-й строки и j-го столбца. Такой минор обозначается Mij.
Алгебраическим дополнением элемента aij квадратной матрицы A называется минор Mij, взятый со знаком (–1)i+j. Такое алгебраическое дополнение обозначается Аij.

Слайд 19

Определитель произвольного порядка
Определителем квадратной матрицы A порядка n называется сумма произведений

элементов первой строки матрицы A на их алгебраические дополнения.

Слайд 20

Определитель произвольного порядка
Теорема (разложение определителя по строке/столбцу): Определитель квадратной матрицы A

порядка n равен сумме произведений элементов любой строки или любого столбца матрицы A на их алгебраические дополнения.

Слайд 21

Свойства определителей
Определитель с нулевой строкой или нулевым столбцом равен 0.
Умножение определителя

на число равносильно умножению какой-либо одной строки или какого-либо одного столбца матрицы на это число.
При транспонировании матрицы величина определителя не меняется.
При перестановке двух любых строк или двух любых столбцов местами определитель меняет знак.

Слайд 22

Свойства определителей
Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен 0.
Определитель, содержащий

две пропорциональные строки или два пропорциональных столбца, равен 0.
Определитель можно разложить на сумму определителей.

Слайд 23

Свойства определителей
Представим матрицу A как набор строк:
Представим i-ю строку матрицы как

сумму двух строк Ai1 + Ai2.
Тогда

Слайд 24

Свойства определителей
Определитель не изменится, если к элементам одной строки прибавить элементы

другой строки, умноженные на одно и то же число.
Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц.

Слайд 25

Обратная матрица
Матрица, определитель которой равен 0, называется вырожденной.
Квадратная матрица A–1 называется

обратной к квадратной матрице A, если A·A–1 = A–1·A = E.
Теорема (о существовании обратной матрицы): Обратная матрица существует и единственная тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденна.

Слайд 26

Свойства обратных матриц
(A–1)–1 = A.
(A–1)T = (AT)–1.
(A–1)k = (Ak)–1.
|A–1| =1/|A|.
(AB)–1 =

B–1A–1.

Слайд 27

Обратная матрица
Транспонированная матрица, построенная из алгебраических дополнений элементов матрицы A, называется

присоединенной матрицей AP.
Теорема (о построении обратной матрицы): Обратная матрица A-1 равна присоединенной AP, умноженной на число, обратное к определителю |A|.

Слайд 28

Элементарные преобразования
Назовем элементарными преобразованиями матрицы A следующие преобразования:
Перестановка местами двух строк

(столбцов).
Умножение строки (столбца) на число.
Прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), предварительно умноженной на число.
Отбрасывание нулевой строки или столбца.
Транспонирование.

Слайд 29

Построение обратной
Замечание: Ни одно из элементарных преобразований не может превратить невырожденную

матрицу в вырожденную.
Теорема: Любая невырожденная матрица путем элементарных преобразований может быть сведена к единичной.
Идея данного способа построения обратной матрицы состоит в следующем: если какие-то элементарные преобразования превращают матрицу A в единичную, то те же самые преобразования превратят единичную матрицу в обратную A-1.

Слайд 30

Алгоритм построения обратной
Составим из матрицы A новую расширенную матрицу, дописав справа

единичную: (A|E).
Применим к полученной расширенной матрице элементарные преобразования, превращающие матрицу A в единичную.
В результате мы получим расширенную матрицу (E|A-1).
Замечания: Применяя элементарные преобразования строк к расширенной матрице (A|B), мы можем получить матрицу (E|A-1B).

Слайд 31

Ранг матрицы
Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой

матрицы.
Ранг матрицы A обозначается r(A) или rang(A).
Понятие ранга существует для матриц любого размера (не обязательно квадратных).

Слайд 32

Свойства ранга
Ранг нулевой матрицы равен нулю.
Ранг матрицы A размера m x

n не превосходит m и n. Другими словами: r(A) ≤ min(m,n).
Ранг квадратной матрицы n-го порядка равен n тогда и только тогда, когда эта матрица невырождена. Другими словами: r(A) = n ⇔ |A| ≠ 0.

Слайд 33

Ступенчатая матрица
Главным элементом строки матрицы называется ее первый ненулевой элемент.
Матрица называется

ступенчатой, если главный элемент каждой строки этой матрицы расположен правее, чем главные элементы предыдущих строк.
Утверждение: Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.

Слайд 34

Вычисление ранга
Теорема (о ранге матрицы): Элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы.
Таким

образом, для вычисления ранга матрицы, ее можно привести к ступенчатому виду. Число оставшихся ненулевыми строк и будет рангом.

Слайд 35

Линейная зависимость
Пусть e1 = (a11 a12 … a1n), …, em =

(am1 am2 … amn) – матрицы-строки.
Строка e = λ1e1 + … + λmem, где коэффициенты λ1, ..., λm – произвольные действительные числа, называется линейной комбинацией строк e1, ..., em.
Линейная комбинация, в которой все коэффициенты одновременно равны нулю, называется тривиальной.
Строки называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулю.

Слайд 36

Линейная зависимость
Теорема (о линейной комбинации строк матрицы): Строки матрицы линейно зависимы

тогда и только тогда, когда одна из них является линейной комбинацией других.
Теорема (связь ранга с линейной независимостью): Ранг матрицы равен числу ее линейно независимых строк (столбцов).
Теорема (о представлении строк в виде линейной комбинации): Каждая строка матрицы может быть представлена в виде линейной комбинации линейно независимых строк матрицы.
Замечание: Все вышесказанное верно и для столбцов.

Слайд 37

Базисный минор
Минор матрицы называется базисным, если он отличен от нуля, а

все миноры большего порядка равны нулю или не существуют.
Теорема (связь ранга с базисным минором): Ранг матрицы равен порядку ее базисного минора.
Теорема (о базисном миноре): Строки (столбцы) матрицы, входящие в базисный минор, образуют линейно независимую систему. Любая строка (столбец) матрицы линейно выражается через строки (столбцы) из базисного минора.

Понятие матрицы

Содержание

1. Матрицы

Понятие матрицыЧисловой матрицей размера m x n называется прямоугольная таблица чисел,

Виды матрицМатрица, все элементы которой равны 0, называется нулевой матрицей.Матрица, состоящая

Диагональ матрицыЭлементы квадратной матрицы вида aii называются диагональными. Совокупность всех диагональных

Треугольные и симметричные матрицыКвадратная матрица, все элементы которой ниже (или выше)

Умножение числа на матрицуНад матрицами можно проводить некоторые арифметические операции.Умножение числа

Сложение и вычитание матрицМатрицы одинакового размера можно складывать и вычитать.Сложение матриц.

Умножение матрицМатрицы можно умножать, если количество столбцов первой матрицы совпадает с

Умножение матрицЗамечание 1: Если матрица A имеет размер m x n,

Умножение матрицЗамечание 3: Умножение квадратной матрицы на единичную не меняет первой,

Возведение матрицы в степеньВозведение матрицы A в целую положительную степень k

ТранспонированиеОперация транспонирования матрицы является переходом к матрице, у которой строки и

Свойства транспонирования(AT)T = A(k·A)T = k·AT(A + B)T = AT +

Свойства сложения и умноженияA + B = B + A(A +

ОпределительС каждой квадратной матрицей можно связать некоторое число, вводимое по определенному

Определитель матрицы порядка 2Для определителя матрицы второго порядка примем следующую формулу:Для

МинорыДля введения формулы определителя матрицы произвольного порядка сначала введем понятие минора.Минором

Определитель произвольного порядкаОпределителем квадратной матрицы A порядка n называется сумма произведений

Определитель произвольного порядкаТеорема (разложение определителя по строке/столбцу): Определитель квадратной матрицы A

Свойства определителейОпределитель с нулевой строкой или нулевым столбцом равен 0.Умножение определителя

Свойства определителейОпределитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен 0.Определитель, содержащий

Свойства определителейПредставим матрицу A как набор строк:Представим i-ю строку матрицы как

Свойства определителейОпределитель не изменится, если к элементам одной строки прибавить элементы

Обратная матрицаМатрица, определитель которой равен 0, называется вырожденной.Квадратная матрица A–1 называется

Свойства обратных матриц(A–1)–1 = A.(A–1)T = (AT)–1.(A–1)k = (Ak)–1.|A–1| =1/|A|.(AB)–1 =

Обратная матрицаТранспонированная матрица, построенная из алгебраических дополнений элементов матрицы A, называется

Элементарные преобразованияНазовем элементарными преобразованиями матрицы A следующие преобразования:Перестановка местами двух строк

Построение обратнойЗамечание: Ни одно из элементарных преобразований не может превратить невырожденную

Алгоритм построения обратнойСоставим из матрицы A новую расширенную матрицу, дописав справа

Ранг матрицыРангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой

Свойства рангаРанг нулевой матрицы равен нулю.Ранг матрицы A размера m x

Ступенчатая матрицаГлавным элементом строки матрицы называется ее первый ненулевой элемент.Матрица называется

Вычисление рангаТеорема (о ранге матрицы): Элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы.Таким

Линейная зависимостьПусть e1 = (a11 a12 … a1n), …, em =

Линейная зависимостьТеорема (о линейной комбинации строк матрицы): Строки матрицы линейно зависимы

Базисный минорМинор матрицы называется базисным, если он отличен от нуля, а

Похожие презентации