Понятия и высказывания

Сентябрь 13, 2022

Главная
Математика
Понятия и высказывания

Содержание

2. Слово «логика» происходит от греческого logos, что означает «слово», «разум», «мысль», «закономерность». Логика - наука, которая
3. Понятие Понятие - форма мышления, отражающая объекты (предметы или явления) в их существенных и общих свойствах.
4. Виды понятий Понятия, которые изучаются в начальном курсе математики, обычно представляют в виде четырех групп. 1)
5. Среди свойств объекта различают существенные и несущественные. Свойство считают существенным для объекта, если оно присуще этому
6. Объем понятия – это множество всех объектов, которые обобщаются в понятии и обозначаются одним термином. Содержание
7. Понятия обозначают строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, ..., z. А их объемы соответственно А,
8. Отношение рода и вида между понятиями. понятия рода и вида относительны: одно и то же понятие
9. Виды определений Явные: - через род и видовое отличие; - генетические; - номинальные. Неявные: - контекстуальные;
10. Структура определения через род и видовое отличие
11. Генетические определения видовое отличие указывает способ образования определяемого понятия. Например, симметрией относительно точки называется такое преобразование
12. Контекстуальные определения Всякий отрывок текста, всякий контекст, в котором встречается интересующее нас понятие, можно назвать неявным
13. Остенсивные определения или определение путем показа. Определить путем показа можно не все понятия, а только простые,
14. Аксиоматические определения Совокупность аксиом какой-то теории является одновременно и свернутой формулировкой этой теории, и тем контекстом,
15. Правила формулировки определений Определение должно быть соразмерным. В определении (или их системе) не должно быть порочного
16. Правила построения нового определения 1. Назвать определяемое понятие (термин). 2. Указать ближайшее родовое (по отношению к
17. Высказывание Высказыванием называют предложение, относительно которого имеет смысл вопрос: истинно оно или ложно Высказывания бывают простые
18. Истинность и ложность Высказывания принято обозначать A,B,C.. Если А является истинным, то говорят что значение высказывания
19. Высказывательная форма О:. Одноместной высказывательной формой, заданной на множестве X, называется предложение с переменной, которое обращается
20. Конъюнкция и дизъюнкция Предложение (высказывание или высказывательная форма), построенное с помощью союза «и» из элементарных предложений,
21. Кванторы В математике слова «все», «некоторые» и их синонимы называются кванторами. Слово «квантор» латинского происхождения и
22. Кванторы общности Слова «любой», «всякий», «все»,«каждый», называются кванторами общности. Обозначается символом ∀ . (∀x ∈ X)
23. Квантор существования Слова «существует», «найдется», «для некоторых», «некоторые», «найдется», «существует», «хотя бы один» и др. называются
24. Если высказывательная форма содержит несколько переменных, то перевести ее в высказывание можно, если связать квантором каждую
25. Установление значения истинности высказываний, содержащих квантор общности Истинность высказывания с квантором общности устанавливается путем доказательства. Показать
26. Установление значения истинности высказываний, содержащих квантор существования Истинность высказывания с квантором существования устанавливается при помощи конкретного
27. Отрицание высказывания Отрицанием высказывания А называется высказывание , которое ложно, если высказывание A истинно, и истинно,
28. Отрицание конъюнкции Чтобы построить отрицание конъюнкции , достаточно заменить отрицаниями составляющие ее высказывания, а союз «и»
29. Отрицание дизъюнкции Чтобы построить отрицание дизъюнкции, достаточно заменить отрицаниями составляющие ее высказывания, а союз «или» заменить
30. Отрицание высказываний с кванторами Для того, чтобы построить отрицание высказывания, начинающегося с квантора общности (существования), достаточно
31. Высказывательная форма B(x) следует из высказывательной формы A(x), если B(x) обращается в истинное высказывание при всех
32. Предложение A(x) ⇒ B(x) может быть сформулировано в виде «всякое A(x) есть B(x)». Его истинность устанавливается
33. A(x) ⇒ B(x) 1) Из A(x) следует B(x). 2) Всякое A(x) есть B(x). 3) Если A(x),
34. Предложения A(x) и B(x) равносильны, если из предложения A(x) следует предложение B(x), а из предложения B(x)
35. A(x) ⇔ B(x) предложения равносильны, если они одновременно истинны, либо одновременно ложны, т.е. если их значения
36. A(x) ⇔ B(x) 1) A(x) равносильно B(x). 2) A(x) тогда и только тогда, когда B(x). 3)
38. Скачать презентацию

Слайд 2

Слово «логика» происходит от греческого logos, что означает «слово», «разум», «мысль»,

«закономерность».

Логика - наука, которая изучает процесс мышления человека с точки зрения структуры мыслей, правильности и неправильности рассуждений, отвлекаясь от конкретного содержания мыслей.
Предметом логики являются такие формы мышления, как понятия, суждения, умозаключения, операции с ними и законы мышления.

Слайд 3

Понятие
Понятие - форма мышления, отражающая объекты (предметы или явления) в их

существенных и общих свойствах.
Языковой формой понятия является слово или группа слов.
Иметь понятие об объекте – это значит уметь выделить его существенные признаки и отличить от всех других объектов.

Слайд 4

Виды понятий
Понятия, которые изучаются в начальном курсе математики, обычно представляют

в виде четырех групп.
1) понятия, связанные с числами и операциями над ними: число, цифра, сложение, слагаемое и др.
2) алгебраические понятия: выражение, равенство, уравнение и др.
3) геометрические понятия: прямая, отрезок, треугольник и т.д.
4) понятия, связанные с величинами и их измерением.

Слайд 5

Среди свойств объекта различают существенные и несущественные. Свойство считают существенным для

объекта, если оно присуще этому объекту и без него он не может существовать.

Слайд 6

Объем понятия – это множество всех объектов, которые обобщаются в понятии и

обозначаются одним термином.
Содержание понятия – это множество всех существенных свойств объекта, отраженных в этом понятии.
Между объемом понятия и его содержанием существует взаимосвязь: если увеличивается объем понятия, то уменьшается его содержание, и наоборот.

Слайд 7

Понятия обозначают строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, ..., z.
А

их объемы соответственно А, В, С, …, Z
Если A ⊂ B (A ≠ B), то говорят, что понятие a – видовое по отношению к понятию b, а понятие b – родовое по отношению к понятию a.
Если A = B, то говорят, что понятия a и b тождественны.
Если множества A и B не связаны отношением включения, то говорят, что понятия a и b не находятся в отношении рода и вида и не тождественны.

Слайд 8

Отношение рода и вида между понятиями.
понятия рода и вида относительны: одно

и то же понятие может быть родовым по отношению к одному понятию и видовым по отношению к другому.
для данного понятия часто можно указать несколько родовых понятий.
видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия.

Слайд 9

Виды определений
Явные:
- через род и видовое отличие;
- генетические;
- номинальные.
Неявные:
- контекстуальные;
остенсивные;
аксиоматические.

Слайд 10

Структура определения через род и видовое отличие

Слайд 11

Генетические определения
видовое отличие указывает способ образования определяемого понятия.
Например, симметрией относительно точки

называется такое преобразование фигуры F в фигуру F', при котором каждая точка X фигуры F переходит в точку X' фигуры F', построенной следующим образом: на продолжении отрезка ОХ за точку О откладывается отрезок ОХ', равный ОХ.

Слайд 12

Контекстуальные определения
Всякий отрывок текста, всякий контекст, в котором встречается интересующее нас понятие,

можно назвать неявным его определением. Контекст ставит понятие в связь с другими понятиями и тем самым косвенно раскрывает его содержание. Почти все определения, с которыми мы встречаемся в обычной жизни, — это контекстуальные определения. Встретившись с неизвестным ранее словом, мы стараемся сами установить его значение на основе всего сказанного.

Слайд 13

Остенсивные определения
или определение путем показа.
Определить путем показа можно не все

понятия, а только простые, конкретные.
Например,
2⋅7 > 2⋅6 9⋅3 = 27
78 – 9 < 78 6⋅4 = 4⋅6
37 + 6 > 37 17 – 5 = 8 + 4
Это неравенства. Это равенства.

Слайд 14

Аксиоматические определения
Совокупность аксиом какой-то теории является одновременно и свернутой формулировкой этой

теории, и тем контекстом, который неявно определяет все входящие в нее понятия.
Аксиоматический контекст строго ограничен и фиксирован. Он содержит все, что необходимо для понимания входящих в него понятий. Он ограничен по своей длине, а также по своему составу. В нем есть все необходимое и нет ничего лишнего.
Аксиоматические определения — одна из высших форм научного определения понятий.

Слайд 15

Правила формулировки определений
Определение должно быть соразмерным.
В определении (или их системе) не

должно быть порочного круга.
Определение должно быть ясным.
Одно и то же понятие определить через род и видовое отличие можно по-разному.

Слайд 16

Правила построения нового определения
1. Назвать определяемое понятие (термин).
2. Указать ближайшее родовое

(по отношению к определяемому) понятие.
3. Перечислить свойства, выделяющие определяемые объекты из объема родового, т.е. сформулировать видовое отличие.
4. Проверить, выполнены ли правила определения понятия (соразмерно ли оно, нет ли порочного круга и т.д.).

Слайд 17

Высказывание
Высказыванием называют предложение, относительно которого имеет смысл вопрос: истинно оно или

ложно
Высказывания бывают простые и составные

Составные
Конъюнкция и дизъюнкция высказываний
Высказывания с кванторами
Отрицание высказываний
Отношение логического следования
Отношение равносильности

Слайд 18

Истинность и ложность
Высказывания принято обозначать A,B,C..
Если А является истинным, то говорят

что значение высказывания A истинно и символически это записывается так А=И
Если В является ложным, то говорят что значение высказывания В ложно и символически это записывается так В=Л
Каждое высказывание либо истинно, либо ложно, быть одновременно одним и другим оно не может.

Слайд 19

Высказывательная форма
О:. Одноместной высказывательной формой, заданной на множестве X, называется предложение

с переменной, которое обращается в высказывание при подстановке в него значений переменной из множества X.

Задание высказывательной формы предполагает и задание того множества, из которого выбираются значения переменной (переменных), входящей в высказывательную форму. Это множество называют областью определения высказывательной формы.
Множество значений переменных, которые обращают высказывательную форму в истинное высказывание. называют множеством истинности высказывательной формы.

Слайд 20

Конъюнкция и дизъюнкция
Предложение (высказывание или высказывательная форма), построенное с помощью союза

«и» из элементарных предложений, называют конъюнкцией.
Слово конъюнкция произошло от лат. Conjunctio - единение
Конъюнкцию предложений А и В обозначают: А/\В (читают: «А и В»).
О:. Если А и В — высказывания, то предложение А/\В истинно, когда оба высказывания истинны, и ложно в остальных случаях.

Предложение (высказывание или высказывательная форма), построенное с помощью союза «или» из элементарных предложений, называют дизъюнкцией.
Дизъюнкция произошло от лат. Disjunctio- разделение
Дизъюнкцию предложений А и В обозначают: А\/В (читают: «Л или В»).
Определение. Если А и В — высказывания, то предложение А\/В истинно, когда истинно хотя бы одно из этих высказываний, и ложно, когда оба высказывания ложны.

Слайд 21

Кванторы
В математике слова «все», «некоторые» и их синонимы называются кванторами. Слово

«квантор» латинского происхождения и означает «сколько», т. е. квантор показывает, о скольких (всех или некоторых) объектах говорится в том или ином высказывании.
Высказывания с кванторами —это такие высказывания, в которых присутствуют слова: «любой», «всякий», «все», «существует», «найдутся», «для некоторых».

Слайд 22

Кванторы общности
Слова «любой», «всякий», «все»,«каждый», называются кванторами общности. Обозначается символом ∀

.
(∀x ∈ X) A(x) можно читать:
а) для всякого x из множества X истинно A(x);
б) всякий элемент из множества X обладает свойством А.

Слайд 23

Квантор существования
Слова «существует», «найдется», «для некоторых», «некоторые», «найдется», «существует», «хотя бы

один» и др. называются кванторами существования.
Обозначается символом ∃.
В математике слово «некоторые» означает «по меньшей мере один, но, может быть, и все».
(∃x∈X) A(x) можно читать:
а) существует такое x из множества X, что истинно A(x);
б) хотя бы один элемент x из множества X обладает свойством A.

Слайд 24

Если высказывательная форма содержит несколько переменных, то перевести ее в высказывание

можно, если связать квантором каждую переменную.
Например, для получения высказывания из высказывательной формы «x > y», надо связать квантором обе переменные: например, (∀x)(∃y) x > y или (∃x)( ∃y) x > y.

Слайд 25

Установление значения истинности высказываний, содержащих квантор общности
Истинность высказывания с квантором общности

устанавливается путем доказательства.
Показать ложность таких высказываний можно, приведя контрпример.

Слайд 26

Установление значения истинности высказываний, содержащих квантор существования
Истинность высказывания с квантором существования

устанавливается при помощи конкретного примера.
Чтобы убедиться в ложности такого высказывания, необходимо провести доказательство.

Слайд 27

Отрицание высказывания
Отрицанием высказывания А называется высказывание , которое ложно, если высказывание

A истинно, и истинно, если высказывание A – ложно.
Для того чтобы построить отрицание элементарного высказывания, достаточно поставить слова «неверно, что» перед данным высказыванием либо перед сказуемым поставить частицу «не»

Слайд 28

Отрицание конъюнкции
Чтобы построить отрицание конъюнкции , достаточно заменить отрицаниями составляющие ее

высказывания, а союз «и» заменить союзом «или».

Слайд 29

Отрицание дизъюнкции
Чтобы построить отрицание дизъюнкции, достаточно заменить отрицаниями составляющие ее высказывания,

а союз «или» заменить союзом «и».

Слайд 30

Отрицание высказываний с кванторами
Для того, чтобы построить отрицание высказывания, начинающегося

с квантора общности (существования), достаточно заменить его квантором существования (общности) и построить отрицание предложения, стоящего после квантора.

Слайд 31

Высказывательная форма B(x) следует из высказывательной формы A(x), если B(x) обращается

в истинное высказывание при всех тех значениях x, при которых A(x) истинна.
Пусть A и B – высказывания, тогда говорят, что из A следует B, если всякий раз, когда A истинно, истинно и B.

Слайд 32

Предложение A(x) ⇒ B(x) может быть сформулировано в виде «всякое A(x) есть B(x)».
Его

истинность устанавливается путем доказательства, а с помощью контрпримера – что оно ложно.
С теоретико-множественной точки зрения высказывание A(x) ⇒ B(x) означает, что если TA – множество истинности высказывательной формы A(x), а TB – множество истинности высказывательной формы B(x), то
TA ⊂ TB. Справедливо и обратное утверждение.

Слайд 33

A(x) ⇒ B(x)
1) Из A(x) следует B(x).
2) Всякое A(x) есть B(x).
3) Если A(x),

то B(x).
4) B(x) есть следствие A(x).
5) A(x) есть достаточное условие для B(x).
6) B(x) есть необходимое условие для A(x).

Слайд 34

Предложения A(x) и B(x) равносильны, если из предложения A(x) следует предложение

B(x), а из предложения B(x) следует предложение A(x).
С теоретико-множественной точки зрения высказывание A(x) ⇔ B(x) означает, что если TA – множество истинности высказывательной формы A(x), а TB – множество истинности высказывательной формы B(x), то TA = TB.

Слайд 35

A(x) ⇔ B(x)
предложения равносильны, если они одновременно истинны, либо одновременно ложны,

т.е. если их значения истинности совпадают при одинаковых наборах значений высказываний A и B.

Слайд 36

A(x) ⇔ B(x)
1) A(x) равносильно B(x).
2) A(x) тогда и только тогда,

когда B(x).
3) A(x) – необходимое и достаточное условие для B(x).
4) B(x) – необходимое и достаточное условие для A(x).

Понятия и высказывания

Содержание

Слово «логика» происходит от греческого logos, что означает «слово», «разум», «мысль»,

ПонятиеПонятие - форма мышления, отражающая объекты (предметы или явления) в их

Виды понятий Понятия, которые изучаются в начальном курсе математики, обычно представляют

Среди свойств объекта различают существенные и несущественные. Свойство считают существенным для

Объем понятия – это множество всех объектов, которые обобщаются в понятии и

Понятия обозначают строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, ..., z.А

Отношение рода и вида между понятиями.понятия рода и вида относительны: одно

Виды определенийЯвные:- через род и видовое отличие;- генетические;- номинальные.Неявные:- контекстуальные;остенсивные;аксиоматические.

Структура определения через род и видовое отличие

Генетические определениявидовое отличие указывает способ образования определяемого понятия.Например, симметрией относительно точки

Контекстуальные определенияВсякий отрывок текста, всякий контекст, в котором встречается интересующее нас понятие,

Остенсивные определенияили определение путем показа. Определить путем показа можно не все

Аксиоматические определенияСовокупность аксиом какой-то теории является одновременно и свернутой формулировкой этой

Правила формулировки определенийОпределение должно быть соразмерным.В определении (или их системе) не

Правила построения нового определения1. Назвать определяемое понятие (термин).2. Указать ближайшее родовое

ВысказываниеВысказыванием называют предложение, относительно которого имеет смысл вопрос: истинно оно или

Истинность и ложностьВысказывания принято обозначать A,B,C..Если А является истинным, то говорят

Высказывательная формаО:. Одноместной высказывательной формой, заданной на множестве X, называется предложение

Конъюнкция и дизъюнкцияПредложение (высказывание или высказывательная форма), построенное с помощью союза

КванторыВ математике слова «все», «некоторые» и их синонимы называются кванторами. Слово

Кванторы общностиСлова «любой», «всякий», «все»,«каждый», называются кванторами общности. Обозначается символом ∀

Квантор существованияСлова «существует», «найдется», «для некоторых», «некоторые», «найдется», «существует», «хотя бы