Последовательности и их пределы. Введение в математический анализ

Август 22, 2022

Главная
Математика
Последовательности и их пределы. Введение в математический анализ

Содержание

2. Домашнее задание
3. Последовательности: определение; примеры. Сходимость последовательностей (вычисление пределов) Что будет на уроке
4. Последовательность — это пронумерованный набор каких-либо объектов, среди которых допускаются повторения, причём порядок объектов имеет значение.
5. Предмет нашего занятия – числовые последовательности, пронумерованные натуральными числами. В качестве обозначения последовательности обычно используют строчные
7. 1 2 3 4 5 6 … n a b c
9. Два способа задания числовой последовательности явный неявный
10. Явный. В этом случае есть конкретная формула для получения n-го члена последовательности. Эту формулу называют общим
11. Неявный. Каждый член последовательности зависит не от номера, а от других элементов последовательности. (но упорядоченность элементов
12. Арифметическая и геометрическая прогрессия (последовательность)
13. Пример геометрической последовательности
14. Пример геометрической последовательности
15. Пример геометрической последовательности
16. Реализация на Python Открываем ноутбук
17. Сходимость последовательностей (пределы)
25. Выяснить тип неопределённости. Если в выражении дробь вида «многочлен делить на многочлен» поделить старшую степень. Поделить
27. Какая будет старшая степень?
33. Правила вычисления пределов, если в числителе и знаменателе степенные функции если максимальная степень числителя меньше максимальной
38. Задача (практическое применение теории пределов) Понять какой из алгоритмов быстрее для сортировки. Есть 3 алгоритма: 1)
39. Задача (практическое применение теории пределов) Ход решения – найти пределы частных. Например (решить этот предел можно
40. Выводы (правила)
45. Сумма членов геометрической прогрессии
49. Скачать презентацию

Слайд 2

Домашнее задание

Слайд 3

Последовательности: определение; примеры.
Сходимость последовательностей (вычисление пределов)
Что будет на уроке

Слайд 4

Последовательность — это пронумерованный набор каких-либо объектов, среди которых допускаются повторения, причём порядок

объектов имеет значение.
Примеры элементов последовательности: дни недели, времена года, наше расписание занятий; распорядок дня (с оговоркой, что порядок выполнения задач строгий).

Слайд 5

Предмет нашего занятия – числовые последовательности, пронумерованные натуральными числами.
В качестве обозначения

последовательности обычно используют строчные латинские буквы в кавычках

Слайд 6

Слайд 7

1 2 3 4 5 6 … n
a
b
c

Слайд 8

Слайд 9

Два способа задания числовой последовательности
явный
неявный

Слайд 10

Явный.
В этом случае есть конкретная формула для получения n-го члена

последовательности. Эту формулу называют общим (главным) членом последовательности.

Слайд 11

Неявный.
Каждый член последовательности зависит не от номера, а от других

элементов последовательности.
(но упорядоченность элементов сохраняется)

Пример - последовательность Фибоначчи.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

Слайд 12

Арифметическая и геометрическая прогрессия (последовательность)

Слайд 13

Пример геометрической последовательности

Слайд 14

Пример геометрической последовательности

Слайд 15

Пример геометрической последовательности

Слайд 16

Реализация на Python
Открываем ноутбук

Слайд 17

Сходимость последовательностей (пределы)

Слайд 18

Слайд 19

Слайд 20

Слайд 21

Слайд 22

Слайд 23

Слайд 24

Слайд 25

Выяснить тип неопределённости.
Если в выражении дробь вида «многочлен делить на многочлен»

поделить старшую степень.
Поделить на n в этой степени числитель и знаменатель.

Слайд 26

Слайд 27

Какая будет старшая степень?

Слайд 28

Слайд 29

Слайд 30

Слайд 31

Слайд 32

Слайд 33

Правила вычисления пределов, если в числителе и знаменателе степенные функции
если максимальная

степень числителя меньше максимальной степени знаменателя, то предел равен 0;
если максимальная степень числителя больше максимальной степени знаменателя, то предел равен ±∞;
если максимальная степень числителя равна максимальной степени знаменателя, то предел равен коэффициентам при этих степенях.

Слайд 34

Слайд 35

Слайд 36

Слайд 37

Слайд 38

Задача (практическое применение теории пределов)
Понять какой из алгоритмов быстрее для сортировки. Есть

3 алгоритма:
1) O(n^2)
2) O(n*log(n))
3) O(n).

Фраза «сложность алгоритма есть O(f(n))» означает, что с ростом n время работы алгоритма будет возрастать не быстрее, чем С*f(n),
где n - количество результатов поиска, в которых есть искомая строка в какой-то форме,
С – некоторая константа.

Слайд 39

Задача (практическое применение теории пределов)
Ход решения – найти пределы частных.
Например

(решить этот предел можно по правилу Лопиталя или просто оценить: на бесконечности степенная функция растёт быстрее логарифма).
Значит O(n*log(n)) быстрее, чем O(n^2).

Исходя только из теории пределов, правильный ответ - O(n).
Может возникнуть такая ситуация: O(n) означает, что f(n) <= C*n, но C может быть настолько велика, что даже на имеющихся миллиардах строк выдачи С > n), а в алгоритмах O(n^2) и O(n log n) эта константа обычно порядка единиц, максимум десятков, но никак не миллиардов.
И тогда правильный ответ - O(n*log(n)).

Слайд 40