Последовательности. Предел последовательности. (Семинар 1)

которой равен разности пределов последовательностей и
Теорема 5
Произведение сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей и .
Теорема 6
Частное двух сходящихся последовательностей и при условии, что предел последовательности отличен от 0, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей и .
Теорема 7
Если элементы сходящейся последовательности , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , то и предел а этой последовательности удовлетворяет неравенству
Теорема 8
Пусть и . Пусть также начиная с некоторого номера элементы последовательности удовлетворяют неравенству

, тогда

существует такое число M (число m), что каждый элемент последовательности удовлетворяет неравенству
M – верхняя грань; m – нижняя грань. - условие ограниченности последовательности сверху (снизу).
Замечание Любая ограниченная сверху (снизу) последовательность имеет бесчисленное множество верхних ( нижних) граней.
Определение 2. Последовательность называется ограниченной с обеих сторон или просто ограниченной, если существует такие числа M и m, что каждый элемент последовательности удовлетворяет неравенству
M – верхняя грань; m – нижняя грань.
Если ограничена, то все элементы этой последовательности удовлетворяют неравенству , где
Определение 3. Последовательность называется неограниченной, если для любого положительного числа А найдется элемент этой последовательности, удовлетворяющий неравенству .
Примеры:
1)последовательность -1, -4, -9, …,- ,… - ограничена сверху и не ограничена снизу. Верхняя грань – число больше или равно -1.

1, 3, ….,n, 1, (n+1), … - не ограничена.
3. Монотонные последовательности
Определение
Последовательность называется неубывающей (невозрастающей), если для всех номеров n справедливо неравенство
Общее название – монотонные последовательности.
Если для всех n - возрастающая.
Если для всех n - убывающая.
Общее название – строго монотонные.
4. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
Определение 1.
Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа А можно указать номер N такой, что для все элементы удовлетворяют неравенству
Определение 2
Последовательность называется бесконечно малой, если для , можно указать номер N такой, что при все элементы этой последовательности удовлетворяют неравенству .
Примеры с решениями
Пример 1. Доказать исходя из определения, что число 1 является пределом последовательности
Доказательство. Рассмотрим модуль разности . Введем

. В качестве N возьмем какое-нибудь натуральное число, удовлетворяющее условию , то есть . Тогда для всех
выполнены неравенства . Это и означает, что число 1
есть предел последовательности , то есть
Пример 2. Доказать исходя из определения, что .
Доказательство.
Так как для любого , то .
Пусть , выберем натуральное N такое, что . Тогда для любого имеем . Значит .
Пример 3. Доказать, что последовательность расходится.
Доказательство. Докажем, что данная последовательность неограниченна. Имеем
Пусть С – произвольное положительное число. Возьмем какое-нибудь натуральное число , тогда . Это означает, что последовательность
Пример 4. Найти
Решение. Преобразуем формулу общего элемента к виду

неограниченна, а поэтому расходится.

.

пределах, получаем
Пример 5. Пусть для любого n; пусть p – натуральное число.
Доказать, что
Доказательство. Если ,
а если поэтому .
Объединяя эти результаты, для любого получаем .
Так как и . Отсюда
следует, что и
Пример 6. Найти
Решение. Преобразуем формулу общего элемента:
.

N, что для любого

верно неравенство

, если

1)

2)

(a – произвольное данное число);

4)

5)

6)

3)

2. Доказать, что:

2)

3)

4)

5)

6)

1)
Доказать, что

- бесконечно малая последовательность, если