Предел и непрерывность функции

Бесконечно малая и бесконечно большие величины.

Переменная величина α называется бесконечно

Переменная величина у называется бесконечно большой, если она изменяется так, что

Связь между бесконечно малой и бесконечно большой величины.

1) если ,

пример:

1) , тогда

2) , тогда

Предел переменной
Число 3 называется пределом переменной х:
или

Постоянная а называется пределом переменной х, если разность между ними

Предел функции

Определение «на языке последовательности»
Число а называется пределом функции f(x) в точке

Односторонние пределы.

Пределы функций при х→х0- и х→х0+

Определение «на языке последовательности»:
если

Определение «на языке последовательности»:
если f(x) стремится к пределу а при х→х0

Пример.

у

х

0

←

→

1

-1

Связь между односторонними пределами.
Теорема. Функция f(x) имеет в точке х0 предел

у

x

0

←

→

1

y

x

0

←

→

Пределы функций при х→∞, х→ - ∞ и х→+∞

Определение «на языке

Определение «на языке последовательности»:
число а называется пределом функции f(x) при х→+∞

Справедлива теорема
Доказать, что функция при х→∞ имеет предел.
существует

у

x

0

←

→

Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Функция α=α(х) называется бесконечно малой

Пример:

1) функция есть бесконечно малая при х→1, т.к

2) функция

Функция f(x) называется бесконечно большой функцией (или просто бесконечно большой) в

Замечание. Функция y=f(x) при х→х0 или при х→∞ может не стремиться

Основные теоремы о пределах

Основные теоремы о пределах

7) Пусть функции f(x), g(x) и h(x) определены

I.Вычисление пределов функций.
1) Вычислить

убедимся, что предел знаменателя отличен от 0:

тогда применима теорема

II. Вычисление пределов функций. Предел знаменателя равен 0.
3) Вычислить

⇒ (3х-12) есть бесконечно
малая

4) Вычислить

неопределённость

5) Вычислить

III. Вычисление пределов функций. Предел функции при х→∞.

6) Вычислить

(4х+3) при

7) Вычислить