Презентация по математике "Дифференциальное исчисление функции одной переменной" - скачать бесплатно

Август 31, 2022

Главная
Математика
Презентация по математике "Дифференциальное исчисление функции одной переменной" - скачать бесплатно

Содержание

2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
3. Определение производной Производной функции y=f(x) в точке х0 Называется , если этот предел существует. Производная обозначается
4. Таблица производных
7. Правила Дифференцирования Пусть u=u(x) и v=v(x) – функции, дифференцируемые в точке х. Тогда в этой точке
8. Производная сложной функции Пусть y=f(u), а u=φ(x). Тогда функция y=f(φ(x)) называется сложной функцией от х. Теорема.
9. 16.
10. Дифференцирование функций, заданных параметрически Пусть функция y от х задана параметрически уравнениями: x=x(t), y=y(t), t (α;β).
11. Пример x=cos3t, y=sin3t. Вычислить yx´´. поэтому
12. Дифференцирование функций, заданных неявно. Вычислить y´x, если y5+xy-x2=0. Продифференцируем обе части по х. Получим 5y4y´+y+xy´-2x=0, откуда
13. Логарифмическое дифференцирование Найти производную функции y=(sinx)x. Логарифмируем функцию по основанию е: lny=x.lnsinx. Дифференцируем обе части равенства
14. Дифференциал функции dy=f´(x)∙dx
15. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях!
16. Теорема Ферма Пусть функция y=f(x) определена в интервале (a;b) и принимает в точке с этого интервала
17. Теорема Ролля Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b) и f(a)=f(b)=0. Тогда
18. Теорема Лагранжа Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема в интервале (a;b). Тогда существует
19. Теорема Лопиталя (правило Лопиталя). Пусть f(x) и φ(x) – функции, непрерывные на [a;b], дифференцируемые на (a;b);
20. Пример
21. Применение производной к исследованию функций
22. Экстремумы функции.
23. Необходимо условие монотонности функции Если дифференцируемая в интервале (a;b) функция y=f(x) возрастает (убывает) на (a;b), то
24. Достаточный признак существования экстремума Если непрерывная на интервале функция y=f(x) имеет производную f´(x) во всех точках
25. Выпуклость и вогнутость графика функции График дифференцируемой функции называется выпуклым (вогнутым) в интервале (a;b), если он
26. Достаточный признак выпуклости и вогнутости Пусть функция y=f(x) имеет вторую производную f´(x) во всех точках интервала
27. Достаточный признак существования точки перегиба Если вторая производная f´(x) непрерывной функции меняет знак при переходе аргумента
28. Асимптоты графика функции Асимптотой графика функции y=f(x) называется прямая, расстояние от которой до текущей точки графика
29. План исследования функции и построение графика Область определения функции. Точки пересечения графика функции с осями координат.
30. Пример Исследовать функцию и построить ее график. Область определения: так как при х=-2 и х=2 знаменатель
31. 2. Пусть х=0, тогда у=0. Пусть у=0, тогда , откуда х=0. (0;0) – точка пересечения графика
32. - функция четная.
33. 4. Функция имеет разрывы в точках х=-2 и х=2, так как f(-2) и f(2) не определены.
34. 5.Невертикальные асимптоты следовательно, прямая у=1 – асимптота.
35. 6. у´=0, если -8х=0, откуда х=0 – критическая точка. Откуда х=-2 и х=2 – критические точки.
36. 7. у´´≠0 при х(-∞;∞), х=-2 и х=2 – критические точки второго порядка. На интервалах (-∞;-2) и
38. Скачать презентацию

Слайд 2

Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Слайд 3

Определение производной
Производной функции y=f(x) в точке х0
Называется , если

этот предел существует. Производная обозначается или . Таким образом, =.

Слайд 4

Таблица производных

Слайд 5

Слайд 6

Слайд 7

Правила Дифференцирования
Пусть u=u(x) и v=v(x) – функции, дифференцируемые в точке х.

Тогда в этой точке дифференцируемы функции u+v, u∙v, . Последнее при условии, что v´(x)≠0. Причем, (u+v)´=u´+v´, (uv)´=u´v+uv´, .

Слайд 8

Производная сложной функции
Пусть y=f(u), а u=φ(x). Тогда функция y=f(φ(x)) называется

сложной функцией от х.
Теорема. Если функция u=φ(x) имеет производную в точке х, а функция y=f(u) имеет производную в соответствующей точке u=φ(x), то сложная функция y=f(φ(x)) имеет производную в точке х, причем .

Слайд 9

16.

Слайд 10

Дифференцирование функций, заданных параметрически
Пусть функция y от х задана параметрически

уравнениями: x=x(t), y=y(t), t (α;β).

Слайд 11

Пример
x=cos3t, y=sin3t. Вычислить yx´´.
поэтому

Слайд 12

Дифференцирование функций, заданных неявно.
Вычислить y´x, если y5+xy-x2=0.
Продифференцируем обе части по х.

Получим 5y4y´+y+xy´-2x=0, откуда y´(5y4+x)=2x-y и

Слайд 13

Логарифмическое дифференцирование
Найти производную функции y=(sinx)x.
Логарифмируем функцию по основанию е: lny=x.lnsinx.

Дифференцируем обе части равенства по х: ∙y´=lnsinx+x∙ctgx
отсюда y´=y∙(lnsinx+x∙ctgx) или y´=(sinx)x∙(lnsinx+x∙ctgx).

Слайд 14

Дифференциал функции
dy=f´(x)∙dx

Слайд 15

Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях!

Слайд 16

Теорема Ферма
Пусть функция y=f(x) определена в интервале (a;b) и принимает

в точке с этого интервала наибольшее или наименьшее на (a;b) значение. Если существует f´(c), то f´(c)=0

Слайд 17

Теорема Ролля
Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на

интервале (a;b) и f(a)=f(b)=0. Тогда ее производная f´(х) обращается в ноль хотя бы в одной точке c (a;b).

Слайд 18

Теорема Лагранжа
Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема

в интервале (a;b). Тогда существует хотя бы одна точка c (a;b), для которой выполняется условие:

Слайд 19

Теорема Лопиталя (правило Лопиталя).
Пусть f(x) и φ(x) – функции, непрерывные

на [a;b], дифференцируемые на (a;b); φ´(x)≠0 при всех х (a;b) и f(a)=φ(a)=0. Тогда если существует , то существует причем :

Слайд 20

Пример

Слайд 21

Применение производной к исследованию функций

Слайд 22

Экстремумы функции.

Слайд 23

Необходимо условие монотонности функции
Если дифференцируемая в интервале (a;b) функция y=f(x)

возрастает (убывает) на (a;b), то для всех х(a;b) f´(x)≥0 (f´(x)≤0)

Слайд 24

Достаточный признак существования экстремума
Если непрерывная на интервале функция y=f(x) имеет

производную f´(x) во всех точках этого интервала, за исключением, может быть, критической точки с, принадлежащей этому интервалу, и если f´(x) при переходе аргумента слева направо через критическую точку с меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то функция в точке с имеет максимум (минимум)

Слайд 25

Выпуклость и вогнутость графика функции
График дифференцируемой функции называется выпуклым (вогнутым)

в интервале (a;b), если он расположен ниже (выше) любой своей касательной на этом интервале

Слайд 26

Достаточный признак выпуклости и вогнутости
Пусть функция y=f(x) имеет вторую производную

f´(x) во всех точках интервала (a;b). Если во всех точках этого интервала f´(x)<0 (f´(x)>0), то график на (a;b) выпуклый (вогнутый).

Слайд 27

Достаточный признак существования точки перегиба
Если вторая производная f´(x) непрерывной функции

меняет знак при переходе аргумента через точку х0, то точка (x0;f(x0)) является точкой перегиба графика функции.

Слайд 28

Асимптоты графика функции
Асимптотой графика функции y=f(x) называется прямая, расстояние от

которой до текущей точки графика функции стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат.

Слайд 29

План исследования функции и построение графика
Область определения функции.
Точки пересечения графика

функции с осями координат.
Четность, нечетность функции.
Исследование функции на непрерывность. Вертикальные асимптоты.
Невертикальные асимптоты.
Интервалы монотонности и экстремумы.
Интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.
Дополнительные точки, , периодичность (по мере необходимости).
Построение графика.

Слайд 30

Пример Исследовать функцию и построить ее график.
Область определения:
так как при

х=-2 и х=2 знаменатель дроби обращается в ноль.

(-∞;-2) (-2;2) (2;+∞),

Слайд 31

2. Пусть х=0, тогда у=0. Пусть у=0, тогда , откуда х=0.
(0;0)

– точка пересечения графика с осями координат

Слайд 32

- функция четная.

Слайд 33

4. Функция имеет разрывы в точках х=-2 и х=2, так как

f(-2) и f(2) не определены.
, ,
, ,
следовательно, х=-2 и х=2 – точки разрыва II рода и прямые х=-2 и х=2 – вертикальные асимптоты.

Слайд 34

5.Невертикальные асимптоты
следовательно, прямая у=1 – асимптота.

Слайд 35

6.
у´=0, если -8х=0, откуда х=0 – критическая точка. Откуда х=-2 и

х=2 – критические точки.
На интервалах (-∞;-2) и (-2;0) функция возрастает, а на интервалах (0;2) и (2;+∞) – убывает.
Уmax(0)=0.

Слайд 36

7.
у´´≠0 при х(-∞;∞), х=-2 и х=2 – критические точки второго порядка.

На интервалах (-∞;-2) и (2;+∞) – график функции вогнутый, а на интервале (-2;2) – выпуклый. Точек перегиба нет

Презентация по математике "Дифференциальное исчисление функции одной переменной" - скачать бесплатно

Содержание

Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Определение производной Производной функции y=f(x) в точке х0 Называется , если

Таблица производных

Правила ДифференцированияПусть u=u(x) и v=v(x) – функции, дифференцируемые в точке х.

Производная сложной функции Пусть y=f(u), а u=φ(x). Тогда функция y=f(φ(x)) называется

16.

Дифференцирование функций, заданных параметрически Пусть функция y от х задана параметрически

Примерx=cos3t, y=sin3t. Вычислить yx´´. поэтому

Дифференцирование функций, заданных неявно.Вычислить y´x, если y5+xy-x2=0.Продифференцируем обе части по х.

Логарифмическое дифференцирование Найти производную функции y=(sinx)x.Логарифмируем функцию по основанию е: lny=x.lnsinx.

Дифференциал функции dy=f´(x)∙dx

Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях!

Теорема Ферма Пусть функция y=f(x) определена в интервале (a;b) и принимает

Теорема Ролля Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на

Теорема Лагранжа Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема

Теорема Лопиталя (правило Лопиталя). Пусть f(x) и φ(x) – функции, непрерывные

Пример

Применение производной к исследованию функций

Экстремумы функции.

Необходимо условие монотонности функции Если дифференцируемая в интервале (a;b) функция y=f(x)

Достаточный признак существования экстремума Если непрерывная на интервале функция y=f(x) имеет

Выпуклость и вогнутость графика функции График дифференцируемой функции называется выпуклым (вогнутым)

Достаточный признак выпуклости и вогнутости Пусть функция y=f(x) имеет вторую производную

Достаточный признак существования точки перегиба Если вторая производная f´(x) непрерывной функции

Асимптоты графика функции Асимптотой графика функции y=f(x) называется прямая, расстояние от

План исследования функции и построение графика Область определения функции.Точки пересечения графика

Пример Исследовать функцию и построить ее график.Область определения: так как при

2. Пусть х=0, тогда у=0. Пусть у=0, тогда , откуда х=0.(0;0)