Презентация по математике "Диофантовы уравнения" - скачать

Август 25, 2022

Главная
Математика
Презентация по математике "Диофантовы уравнения" - скачать

Содержание

2. Диофантовы уравнения Глобально не изучаются в школьной программе, а присутствуют на экзамене! Проблема подтолкнувшая на создание
3. обусловлена трудностями решения уравнений и задач на составление «Диофантовых уравнений» Актуальность моего исследования
4. Целью моей работы является: -Исследовать варианты решения уравнений с одной неизвестной; -Исследовать варианты уравнений с двумя
5. Немного истории… О прожитых годах жизни Диофанта Александрийского можно только предполагать, по написанному стихотворению: Прах Диофанта
6. Мы узнаем годы жизни Диофанта Александрийского. Пусть Диофант прожил x лет. Составим и решим уравнение: Умножим
7. Арифметика… Основное произведение Диофанта Александрийского– «Арифметика» в тринадцати книгах. К сожалению, до наших дней сохранились только
8. Диофантовы уравнения с одним неизвестным. Если уравнение с целыми коэффициентами имеет целый корень, то этот корень
9. Например: Решить в целых числах уравнение: Решение. Свободный член уравнения имеет следующие делители Среди этих чисел
10. Неопределенные уравнения II-ой степени вида x2 + y2 = z2 Существует еще одна частная задача на
11. В точке С где надо было построить прямой угол, забивали колышек, веревку натягивали в направлении, нужном
12. Запишем подряд квадраты натуральных чисел, а под ними разность между последовательными квадратами: 1, 4, 9, 16,
13. Каждое нечетное число есть разность двух последовательных квадратов
14. Числа, найденные по такому правилу, всегда будут составлять решение интересующего нас неопределенного уравнения. Это уравнение будем
15. Мои исследования: Заключались в изучении решений задач и уравнений…. И я понял, что для решения задач
16. Куплены фломастеры по 7 рублей и карандаши по 4 рубля за штуку, всего на сумму 53
17. Решение: Пусть х – число фломастеров, у – число карандашей, тогда по условию 7х+ 4у=53. Частное
18. Решить диофантово уравнение: 23х-13у+7z=5 Выбираем наименьший по модулю коэффициенты x,y,z. В нашем случае это 7, затем
19. Найти все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению Разложим левую часть уравнения на множители и запишем уравнение
20. Заключение: В заключительной части своей работы мне особенно хотелось подчеркнуть, что изучив специальную литературу, посвященную диофантовым
21. Диофантовы уравнения и их решения и по сей день остаются актуальной темой. Умение решать такие уравнения
23. Скачать презентацию

Слайд 2

Диофантовы уравнения Глобально не изучаются в школьной программе, а присутствуют на

экзамене!

Проблема подтолкнувшая на создание работы:

Слайд 3

обусловлена трудностями решения уравнений и задач на составление
«Диофантовых уравнений»
Актуальность моего

исследования

Слайд 4

Целью моей работы является:
-Исследовать варианты решения уравнений с одной неизвестной;
-Исследовать варианты

уравнений с двумя неизвестными;
-Найти общие закономерности результатов решений поставленных задач.

Слайд 5

Немного истории…
О прожитых годах жизни Диофанта Александрийского можно только предполагать, по

написанному стихотворению:
Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей - и камень.
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая. С подругой он обручился.
С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец;
Только полжизни отцовской, возлюбленный сын его прожил.
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,
Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Слайд 6

Мы узнаем годы жизни Диофанта Александрийского. Пусть Диофант прожил x лет. Составим

и решим уравнение:

Умножим уравнение на 84, чтобы избавиться от дробей:

Слайд 7

Арифметика…
Основное произведение Диофанта Александрийского– «Арифметика» в тринадцати книгах. К сожалению, до

наших дней сохранились только шесть первых книг из тринадцати. «Арифметика» Диофанта – это сборник задач их всего 189, каждая из которых снабжена решением или несколькими способами решения и необходимыми пояснениями. Поэтому, с первого взгляда, кажется, что она не является теоретическим произведением. Однако, при внимательном чтении видно, что задачи тщательно подобраны и служат для иллюстрации вполне определенных, строго продуманных методов.

Слайд 8

Диофантовы уравнения с одним неизвестным.
Если уравнение
с целыми коэффициентами имеет целый

корень, то этот корень является делителем числа свободного члена уравнения. Таким образом, при отыскании целых корней уравнения с целыми коэффициентами достаточно испытать лишь делители свободного члена.

Слайд 9

Например:
Решить в целых числах уравнение:
Решение. Свободный член уравнения имеет следующие делители

Среди этих чисел и будем искать целые корни данного уравнения. Подстановкой
убеждаемся, что корнями являются числа 1 и – 3.

Слайд 10

Неопределенные уравнения II-ой степени вида x2 + y2 = z2

Существует еще одна частная задача на неопределенные уравнения – теперь уже второй степени, возникшая примерно за две тысячи лет до Диофанта в Древнем Египте.
Если стороны треугольника пропорциональны числам 3, 4 и 5, то этот треугольник – прямоугольный. Этот факт использовали для построения на местности прямых углов. Поступали довольно просто. На веревке на равном расстоянии друг от друга завязывали узлы

Слайд 11

В точке С где надо было построить прямой угол, забивали колышек,

веревку натягивали в направлении, нужном строителям, забивали колышек в точке В при СВ = 4 и натягивали веревку так, чтобы АС = 3 и АВ = 5. Треугольник с такими длинами сторон называют египетским. Мы, конечно, понимаем, что безошибочность такого построения следует из теоремы, обратной теореме Пифагора. Действительно,
32 + 42 = 52 . Говоря иначе, числа 3, 4, 5 – корни уравнения

Слайд 12

Запишем подряд квадраты натуральных чисел, а под ними разность между последовательными

квадратами:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196 … .
3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27 … .
Найдем в нижнем ряду квадратные числа. Первое из них 32 = 9 , над ним 42 = 16 и 52 =25, знакомая нам тройка 3, 4, 5.Следующее квадратное число в нижней строке 25, ему соответствует 144 и 169, отсюда находим вторую известную нам тройку 5, 12, 13. Отсюда мы имеем право сформулировать такую теорему:

Слайд 13

Каждое нечетное число есть разность двух последовательных квадратов

Слайд 14

Числа, найденные по такому правилу, всегда будут составлять решение интересующего

нас неопределенного уравнения. Это уравнение будем называть «уравнением Пифагора», а его решения – «пифагоровыми тройками». По этому правилу можно получить уже известные нам тройки:

Слайд 15

Мои исследования:
Заключались в изучении решений задач и уравнений…. И я

понял, что для решения задач есть много подходов. Диофант Александрийский не останавливался на одном решении, он находил каждый раз новые и более сложные пути получения результатов.

Слайд 16

Куплены фломастеры по 7 рублей и карандаши по 4 рубля

за штуку, всего на сумму 53 рубля. Сколько куплено фломастеров и карандашей?

Именно эта задача проявила мой интерес к изучению «Диофантовых уравнений» и с неё начались мои исследования!

Слайд 17

Решение:
Пусть х – число фломастеров, у – число карандашей, тогда

по условию 7х+ 4у=53. Частное решение этого линейного диофантова уравнения есть: х=7, у=1. Тогда общее решение его имеет вид: х=7-4t, y=1+7t. Однако условию х> 0, y>0, то значениями параметра t могут быть лишь t=0 и t=1. При t=0 получаем х=7, у=1, а при t=1 имеем: х=3, у=8. Таким образом, решений два, т.е. возможны два варианта покупки фломастеров и карандашей на сумму 53 рубля.

Слайд 18

Решить диофантово уравнение: 23х-13у+7z=5

Выбираем наименьший по модулю коэффициенты

x,y,z. В нашем случае это 7, затем остальные коэффициенты 23 и 13, при неизвестных представляем в виде: 23= 7*3+2, 13=7*2+(-1), тогда преобразуем уравнение следующим образом: (7*3+2)х-(7*2-1)у+7z=5,
Откуда 2х+у+7(3х-2у+z)=5. Полагая теперь t= 3х-2у+z, получаем уравнение: 2х+у+7t=5.
Далее находим у из последнего равенства, т.е. у=5-2х-7t и z=-3x+2у+t. Подставляя в последние равенство выражение для у, находим, что z=-3х+2(5-2х-7t)+t=-7х -13t+10.
Таким образом, окончательно получаем: У= 5-2х-7t, z=10-7х-13t, где параметры х, и Є Z дают общее решение предположенного диофантова уравнения. Этот метод «наименьшего коэффициента» применим и для решения диофантовых уравнений вида ax+by=c.

Слайд 19

Найти все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению
Разложим левую часть уравнения

на множители и запишем уравнение вида: (х-у)(х+у)=69 Т.к. делителями числа 69 являются числа 1, 3, 23 и 69, то 69 можно получить двумя способами: 69=1*69 и 69=3*23. Учитывая, что , получим две системы уравнений, решив которые мы сможем найти искомые числа:
или
Первая система имеет решение х=35, у=34 , а вторая система имеет решение х=13, у=10.
Ответ: (35;34) и (13;10)

Слайд 20

Заключение:
В заключительной части своей работы мне особенно хотелось подчеркнуть, что

изучив специальную литературу, посвященную диофантовым уравнениям, я расширил свои математические навыки и получил дополнительные знания о самом Диофанте, также о влиянии его научных трудов на дальнейшее развитие научной математической мысли. Именно благодаря методам Диофанта были разгаданы методы самого Архимеда. Методы Диофанта растягиваются еще на несколько сотен лет, переплетаясь с развитием теории алгебраических функций и алгебраической геометрии. Развитие идей Диофанта можно проследить вплоть до работ Анри Пуанкаре и Андре Вейля. Именно Диофант открыл нам мир арифметики и алгебры. Поэтому история Диофантова анализа показалась мне особенно интересной.

Слайд 21

Диофантовы уравнения и их решения и по сей день остаются актуальной

темой.
Умение решать такие уравнения позволяет найти остроумные и сравнительно простые решения казалось бы «неразрешимых» задач, а в практической деятельности значительно сэкономить затраты средств и времени.
Проведя данное исследование, я овладел новыми математическими навыками, рассмотрел некоторые методы решения неопределенных уравнений.
Изучая диофантовы уравнения, показал практическое им применение, решив несколько задач.

Презентация по математике "Диофантовы уравнения" - скачать

Содержание

Диофантовы уравнения Глобально не изучаются в школьной программе, а присутствуют на

обусловлена трудностями решения уравнений и задач на составление «Диофантовых уравнений»Актуальность моего

Целью моей работы является:-Исследовать варианты решения уравнений с одной неизвестной;-Исследовать варианты

Немного истории…О прожитых годах жизни Диофанта Александрийского можно только предполагать, по

Мы узнаем годы жизни Диофанта Александрийского. Пусть Диофант прожил x лет. Составим

Арифметика…Основное произведение Диофанта Александрийского– «Арифметика» в тринадцати книгах. К сожалению, до

Диофантовы уравнения с одним неизвестным. Если уравнение с целыми коэффициентами имеет целый

Например:Решить в целых числах уравнение:Решение. Свободный член уравнения имеет следующие делители