Прикладные задачи математики

V(м/с) от глубины h
V=-h2+2h+8
Найти глубину с максимально сильным течением, и максимальную глубину реки(т.е. глубину, где V=0)

Решение:

 

2) V=0 -h2+2h+8=0
По теореме Виета h1=4, h2=-2
h2<0 – условию задачи не подходит
h=h1=4м –максимальная глубина

Ответ: h=4м – максимальная глубина, Vmax =9 м/с при h=1м

глубину. Нельзя ли воспользоваться для этого торчащим из воды камышом, не вырывая его?

Решение:

D

Слегка отклонив камыш и держа его в натянутом состоянии, замерим расстояние а между точками A и Б в которых камыш пересекает поверхность воды, соответственно в вертикальном и наклонном положении.
Возвратим камыш в исходное состояние и определим высоту b над водой, на которую поднимется при этом точка B наклоненного

 

t (0С) при которой она выращивалась
Y=3,6t-0,1t2-12,4
Определите при какой температуре урожайность превышает 18,4(ц/га)

Задача №1

Решение:

y>18,4
3,6t-0,1t2-12,4>18,4
3,6t-0,1t2-12,4-18,4>0
-0,1t2+3,6t-30,8>0
Рассмотрим функцию y=-0,1t2+3,6t-30,8, график парабола ветви которой направлены вниз, так как а=-0,1<0
Находим нули функции y=0
-0,1t2+3,6t-30,8=0
D=0,64, D>0 - уравнение имеет два корня
t1=22
t2=14
14oC

Ответ: 14oC

среднесуточной температурой t (0С) при которой она выращивалась:
Y=-0,0131t2+0,468t-3,0744
Найдите оптимальную температуру, которая обеспечивает максимальный урожай

Задача №2

Решение:

Ответ: Оптимальная температура, которая обеспечивает максимальный урожай 17,9 оС

 

располагает трубами одинакового диаметра длиной в 5м и 7 м. Найти наиболее экономически целесообразное число труб той и другой длины, которой следует использовать для прокладки водопровода, учитывая, что разрезать трубы не рекомендуется, и необходимо сделать наименьшее число соединений.

Задача №3

Решение:

Ответ: х=6 и у=23.

Обозначаем, число труб длиной 5 м через х, а число труб длиной 7 м через у, тогда получаем уравнение. 5х+7у=191
По условию задачи х N, у N. Так как 191 не кратно ни 5, ни 7 и учитывая требования задачи о недопустимости разрезать трубы, можно сделать вывод о том, что ограничится трубами одного из двух заданных размеров нельзя.
Для решения уравнения запишем его в виде: 5х=191-7у. Уравнению удовлетворяют пары чисел (34;3), (27;8), (20;13), (13;18), (6,23).
Таким образом, уравнение имеет 5 различных решений. Мы используем требование о необходимости сделать наименьшее число соединений.
При х=34 и у=3 – потребуется сварить 36 соединений, при х=27 и у=8 – 34 соединения, при х=20 и у=13 – 32 соединения, при х=13 и у=18 – 30 соединений, при х=6 и у=23 -28 соединений. Таким образом, наименьшее число соединений достигается при х=6 и у=23.

автола больше, чем трактор "Беларусь", если ДТ-75 израсходовал 94 кг автола, а трактор "Беларусь" проработал на двое суток больше, 75 кг.

Задача №4

Решение:

Ответ: 3,8 кг, 5,3 кг.

Пусть х (кг) – суточный расход автола трактором "Беларусь".
Получаем уравнение:
Выполним преобразования, получаем уравнение
Используя условие равенства дроби нулю, получаем, что
Д>0 –уравнение имеет 2 корня.
Согласно условию задачи x1 не подходит, тогда x=x2 (кг) – суточный расход автола трактором "Беларусь". Тогда трактор "ДТ-75" расходует в сутки 3,8+1,5=5,3 (кг) автола.

пленки. Заданы размеры теплицы: высота h=2м, длина l=5м, наклон крыши 450. Найдите такую ширину, чтобы оптимально использовать плёнку.

Задача №5

Решение:

Ответ: х=5 м.

Площадь торцов
Площадь боковых стен:
Откуда получаем уравнение:
отпадает.

Следовательно,
Откуда,

5 м друг от друга. Известно, что площадь сквера 5808 м2, а длины дорожек, идущих по диагоналям, относятся как 3:4. Сколько саженцев надо для посадки?

Задача №7

Решение:

Ответ: 44 саженца.

AC=3x, BD=4x,
S=AC·BD=3x·4x=12x2
12x2=5808 | :12
x2=484
x=22
AC=3·22=66 (м), BD=4·22=88 (м)
OC= AC= ·66=33 (м)
OB= BD= ·88=44 (м)
OВС – прямоугольный; по теореме Пифагора BC2=OB2 + OC2
BC= = = 55 (м)
P=4·BC=4·55=220 (м)
220:5=44 (саженца)

и флакон уксусной эссенции, на этикетке у которого указана концентрация 70% . Надо приготовить 1 бутылку 6% уксуса и 1 бутылку 9% уксуса.

Задача №1

Решение:

Ответ: а) 42,86ml; б) 64,29ml

 

получить 65% раствор.

Задача №2

Решение:

Ответ: 1:3

 

пробы, чтобы получить золото 500 пробы.

Задача №3

Решение:

Ответ: 2:1

 

процентных денег. Продав облигации по курсу 120 (т.е. 120% от их номинальной стоимости), часть вырученных денег предприниматель употребил на покупку дома, остатка положил в банк под 4%, а остальные деньги в другой банк под 5%. Из обоих банков вместе предприниматель получал в год 980 долларов дохода. Сколько было заплачено за дом?

Шестипроцентная облигация – ценная бумага, дающая обладателю доход в размере 6% от номинальной, то есть обозначенной на облигации стоимости. Поэтому номинальная стоимость всех облигаций 1500∙100:6=25000 дол. За них предприниматель выручил 25000∙1,2=30000 (дол.) Пусть х долларов – сумма, положенная в банк предпринимателем. Тогда получим уравнение

Решение:

Задача№1

0,04х + 0,1х = 2940 => 0,14х = 2940
х = 2940 : 0,14 => х = 21000 (дол.)
На покупку дома потрачено 30000-21000=9000 (дол.)

Ответ: 9000 долларов.

остальной капитал на одну треть. Через три года он стал вдвое богаче. Как велик стал его капитал?

Обозначим через х (дол.) – первоначальный капитал предпринимателя. Тогда из условия задачи вытекает уравнение:

Решение:

Задача№2

10х=14800
х=14800:10 => х=1480
2 х= 2∙1480 = 2960 (дол.)

Ответ: 9000 долларов.

вас одни лишь трёхрублёвки, у кассира только пятирублевки. Как расплатиться с кассиром?

Пусть х – число трехрублевых купюр, а у – число пятирублевых купюр. Тогда согласно условию задачи получаем уравнение 3х - 5у = 19
Мы получили уравнение с двумя неизвестными. Понятно, что у него бесконечно много решений, но по условию задачи х,у должны быть натуральными числами. Уравнения с такими условиями называются диофантовыми в честь древнегреческого математика Диофанта, который жил в III в. На самом деле имеется в виду система:

Решение:

Задача№3

одночлен в правой части уравнения обозначим новой переменной

Подставим (2) в (1) и получаем
х=2у+6-k=2у-k+6 (3)
А из равенства (2) имеем:
3k=y-1
y=3k+1
Подставим это значение в выражение (3) и получаем
х =2(3k +1)- k +6=6k +2- k +6=5k +8
х =5k +8
Мы получили формулу для всех решений задачи при k=0,1,2,3…

1)

Ответ: 9000 долларов.

наиболее далекой видимой точки
называют дальностью горизонта.
Пусть а дальность горизонта, R – радиус Земли, H – рост наблюдателя, тогда используя теорему Пифагора получаем:

Во втором сомножителе величиной Н можно пренебречь по сравнению с диаметром Земли 2R = 12 740 000 м
Тогда получим приближенную формулу а = ≈ 3570 (м)
Луч света в атмосфере искривляется, и практически мы видим чуть дальше:
а = 3860
Ответ: а = 3570

а2 = (R+H)2 – R2=R2 + 2RH + H2 – R2 = 2RH + H2 = H(2R + H)