Содержание
- 2. ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ Теорема Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их
- 3. То есть если существует неопределенность вида то
- 4. ПРИМЕРЫ Вычислить пределы, используя правило Лопиталя: 1
- 5. Решение:
- 6. 2
- 7. Решение:
- 8. ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИЙ ТЕОРЕМА 1 (достаточное условие возрастания функции)
- 9. Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка Х, то она возрастает на этом промежутке.
- 10. ТЕОРЕМА 2 (достаточное условие убывания функции) Если производная дифференцируемой функции отрицательна внутри некоторого промежутка Х, то
- 11. Геометрическая интерпретация Если касательные к кривой на некотором промежутке направлены под острыми углами к оси х,
- 12. Функция возрастает Функция убывает
- 13. Пример Найти интервалы монотонности функции
- 14. Решение: Найдем производную этой функции: Исследуем знак этой производной:
- 15. Следовательно, функция будет возрастать на промежутке Функция будет убывать на промежутке
- 16. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ Точка х0 называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки х0 выполняется
- 17. Точка х1 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки х1 выполняется неравенство
- 18. Значения функции в точках х0 и х1 называются соответственно точками максимума и минимума. Максимум и минимум
- 19. max min max
- 20. Если в некоторой точке х0 дифференцируемая функция f(x) имеет экстремум, то в некоторой окрестности этой точки
- 21. Однако, функция может иметь экстремум в точке, в которой она не дифференцируема. Например, функция имеет минимум
- 22. Необходимое условие экстремума Для того, чтобы функция y=f(x) имела экстремум в точке х0 , необходимо, чтобы
- 23. Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума, называются критическими или стационарными. Если в какой-либо точке имеется
- 24. Примеры Найти критические точки и экстремумы функций: 1
- 25. Решение: Применим необходимое условие экстремума: - критическая точка
- 26. min
- 27. 2
- 28. Решение: Применим необходимое условие экстремума: - критическая точка
- 30. Первое достаточное условие экстремума Если при переходе через точку х0 производная дифференцируемой функции y=f(x) меняет знак
- 31. Схема исследования функции на экстремум 1 Найти производную функции
- 32. 2 Найти критические точки функции, в которых производная равна нулю или не существует.
- 33. 3 Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки.
- 34. 4 Найти экстремум функции.
- 35. Пример Исследовать функцию на экстремум:
- 36. Решение: Применим схему исследования функции на экстремум: 1 Находим производную функции:
- 37. 2 Находим критические точки: критические точки
- 38. 3 Исследуем знак производной слева и справа от каждой критической точки: min В точке х=1 экстремума
- 39. 4 Находим экстремум функции:
- 40. Второе достаточное условие экстремума Если первая производная дифференцируемой функции y=f(x) в точке х0 равна нулю, а
- 41. Схема исследования функции на экстремум в этом случае аналогична предыдущей, но третий пункт следует заменить на:
- 42. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ Согласно теореме Вейерштрасса, если функция непрерывна на отрезке [a;b],
- 43. Схема нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке 1 Найти производную функции.
- 44. 2 Найти критические точки, в которых производная равна нулю или не существует. 3 Найти значения функции
- 45. пример Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- 46. решение: 1 Находим производную функции: 2 Находим критические точки: критические точки
- 47. 3 Находим значения функций в критических точках и на концах отрезка:
- 49. Скачать презентацию