Применения производной к исследованию функций

Август 25, 2022

Главная
Математика
Применения производной к исследованию функций

Содержание

2. Оглавление Схема исследования функций; Признак возрастания (убывания) функции: Достаточный признак возрастания функции; Достаточный признак убывания функции;
3. Схема исследования функций Найти области определения и значений данной функции f. Выяснить, обладает ли функция особенностями,
4. Признак возрастания (убывания) функции
5. Достаточный признак возрастания функции. Если f´ (x) > 0 в каждой точке интервала I, то функция
6. Доказательство признака возрастания (убывания) функции Доказательство проводится на основании формулы Лагранжа: f´
7. Пример нахождения промежутков возрастания (убывания) функции Дано: f (x) = -2x + sin x Найти: промежутки
8. Критические точки функции, максимумы и минимумы
9. Необходимое условие экстремума (теорема Ферма) Если точка х0 является точкой экстремума функции f и в этой
10. Теорема Ферма есть лишь необходимое условие экстремума. Из того, что производная в точке х0 обращается в
11. Примеры критических точек, в которых производная не существует
12. Признак максимума функции Если функция f непрерывна в точке х0, а f´ (х) > 0 на
13. Признак минимума функции Если функция f непрерывна в точке х0, f´ (х) 0 на интервале (х0;
14. Пример нахождения точек экстремума функции Дано: f (x) = 3x – x3 Найти: Точки экстремума функции
16. Скачать презентацию

Слайд 2

Оглавление
Схема исследования функций;
Признак возрастания (убывания) функции:
Достаточный признак возрастания функции;
Достаточный признак убывания

функции;
Критические точки функции:
Необходимое условие экстремума;
Признак максимума функции;
Признак минимума функции.

Слайд 3

Схема исследования функций
Найти области определения и значений данной функции f.
Выяснить, обладает

ли функция особенностями, облегчающими исследование.
Вычислить координаты точек пересечения графика с осями координат.
Найти промежутки знакопостоянства функции f.
Выяснить, на каких промежутках функция f возрастает, а на каких убывает.
Найти точки и вид экстремума и вычислить значения f в этих точках.
Исследовать поведение функции f в окрестности характерных точек, не входящих в область определения.

Слайд 4

Признак возрастания (убывания) функции

Слайд 5

Достаточный признак возрастания функции. Если f´ (x) > 0 в каждой

точке интервала I, то функция возрастает на I.
Достаточный признак убывания функции. Если f´ (х) < 0 в каждой точке интервала I, то функция убывает на I.

Слайд 6

Доказательство признака возрастания (убывания) функции
Доказательство проводится на основании формулы Лагранжа:

f´

Слайд 7

Пример нахождения промежутков возрастания (убывания) функции
Дано:
f (x) = -2x +

sin x

Найти:
промежутки возрастания (убывания) функции

Решение
Функция определена на всей числовой прямой.
Найдем f´ (x). f´ (x) = -2 + cos x.
| cos x | ≤ 1 => f´ (x) < 0 для всех действительных х.
Вывод: f (x) = -2x + sin x убывает на всей числовой прямой

Слайд 8

Критические точки функции, максимумы и минимумы

Слайд 9

Необходимое условие экстремума (теорема Ферма)
Если точка х0 является точкой экстремума

функции f и в этой точке существует производная f´, то она равна нулю: f´(х0) = 0

Слайд 10

Теорема Ферма есть лишь необходимое условие экстремума. Из того, что производная

в точке х0 обращается в нуль, необязательно следует, что в этой точке функция имеет экстремум.

Слайд 11

Примеры критических точек, в которых производная не существует

Слайд 12

Признак максимума функции
Если функция f непрерывна в точке х0, а

f´ (х) > 0 на интервале (а; х0) и f´ (х) < 0 на интервале (х0; b), то точка х0 является точкой максимума функции f.
Упрощённая формулировка признака:
Если в точке х0 производная меняет знак с плюса на минус, то х0 есть точка максимума.

Слайд 13

Признак минимума функции
Если функция f непрерывна в точке х0, f´

(х) < 0 на интервале (а; х0) и f´ (х) > 0 на интервале (х0; b), то точка х0 является точкой минимума функции f.
Упрощённая формулировка признака:
Если в точке х0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х0 есть точка максимума.

Слайд 14

Пример нахождения точек экстремума функции
Дано:
f (x) = 3x – x3
Найти:
Точки экстремума

функции

Решение
Найдём производную функции: f´ (x) = 3 – 3х2
f´ (x) = 0, при х = 1 и х = -1
f´ (x) < 0 при х < -1; f‘ (x) > 0 при -1 < х < 1, т.е. в точках -1 и 1 функция меняет знак.
По признакам максимума и минимума точка -1 является точкой минимума, а точка 1 — точкой максимума.

Применения производной к исследованию функций

Содержание

ОглавлениеСхема исследования функций;Признак возрастания (убывания) функции:Достаточный признак возрастания функции;Достаточный признак убывания

Схема исследования функцийНайти области определения и значений данной функции f.Выяснить, обладает

Признак возрастания (убывания) функции

Достаточный признак возрастания функции. Если f´ (x) > 0 в каждой

Доказательство признака возрастания (убывания) функции Доказательство проводится на основании формулы Лагранжа:

Пример нахождения промежутков возрастания (убывания) функцииДано: f (x) = -2x +

Критические точки функции, максимумы и минимумы

Необходимое условие экстремума (теорема Ферма) Если точка х0 является точкой экстремума