Производная и дифференциал функции

существует конечный предел отношения
при Тогда этот предел называется производной функции в точке x0 и обозначается т. е.

Операция вычисления производной называется дифференцированием.
Функция, имеющая производную в точке называется дифференцируемой в этой точке.
Производная функции является также функцией.

функция, дифференцируемая в точке непрерывна в этой точке.
Доказательство:
где при .
Следовательно
т. е. при а следовательно функция непрерывна.
Примечание. Обратное утверждение неверно. Например, функция непрерывна, но не дифференцируема в точке

некоторого продукта. Тогда у'(х) выражает скорость изменения затрат при изменении количества продукта. Эта производная называется предельной (маржинальной) стоимостью.
(Максимизация прибыли). Пусть функция дохода от количества реализованного товара х выражается формулой R(x) =х3/3 - 2000000 х , а функция затрат на производство товара формулой С(х) = 1500 х . Определить оптимальный уровень производства и прибыль, которая при этом достигается.
(Оптимизация налогообложения предприятий ). Пусть функция дохода от количества реализованного товара х выражается формулой R(x) = 16 х — х2, а функция затрат на производство товара— формулой С(х) = х2 + 1. Определить оптимальный уровень налога с единицы реализованного товара и прибыль предприятия, которая при этом достигается.
Пусть y(t) — величина вклада в момент времени t (в годах). Можно ли определить (приближенно) годовую ставку банковского процента р по функции y(t)?
Если проценты начисляются непрерывно, то, где р — ежегодный процент прироста вклада, а r = р/100 — номинальная ставка за год. Найдем логарифмическую производную от величины вклада: Вывод: ставка банковского процента г совпадет с логарифмической производной от величины вклада.
Определение эластичности. Понятие эластичности было введено Альфредом Маршаллом в связи с анализом функции спроса. Впоследствии это понятие было распространено и на другие функции.

величины по отношению к другой, считающейся независимой переменной
Механический смысл первой и второй производных. Скорость тела в момент времени t равна а ускорение равно где
– путь, пройденный телом к моменту времени
Средняя скорость тела за промежуток времени равна
Мгновенная скорость тела в момент времени есть предел, к которому
стремится его средняя скорость в промежуток времени при

фиксированное значение аргумента

∆x – приращение аргумента

∆f

α

∆x

∆f

tg α=

смысл производной:

Физический смысл производной:

− мгновенная скорость изменения функции.